Funkcje trygonometryczne luk18: Trudne zadanie Podaj najmniejszą i największą wartość funkcji f(x)=√3sinx + cosx Niby wiem jak to zrobić, ale bardziej wiem niż rozumiem, jest ktoś kto umie i rozumie? Jeśli tak to prosiłbym o wyjaśnienie

luk18: Znajdzie się ktoś?

Vax: Warto zapamiętać, że jeżeli mamy funkcję: f(x) = Asinα + Bcosα To zbiór wartości można bardzo szybko policzyć korzystając z tego, że: −√A²+B² ≤ f(x) ≤ √A²+B² W naszym przypadku podstawiamy i mamy: −2 ≤ f(x) ≤ 2 Czyli najmniejsza wartość funkcji wynosi −2 a największa 2. Oczywiście jak mamy policzyć zbiór wartości f(x) = Asinα + Bcosα + C to liczymy na początku bez C, a później do wyniku dodajemy nasze C, w końcu jest to przesunięcie danej funkcji na osi OY Pozdrawiam!

luk18: To jest taki wzór...? Mi pokazano inaczej to zadanie, ale chyba ten sposób jest jaśniejszy dla mnie... Po prostu wzór do zakucia i tyle, dzięki

M4ciek: Czy ten wzór trzeba jakoś udowadniać czy coś Dobry jest

M4ciek:

ancymon: pewnie trzeba, pierwszy raz coś takiego na oczy widze niemniej jednak wychodziłoby na to, że wszystko się zgadza

M4ciek: Podbijam

ancymon: Vax udowodnij ten wzór proszę

wolfy: Vax zawsze znajdujesz jakieś wyszukane metody do rozwiązywania zadań ? ^^ Większość tych "sposobów" jest na poziomie akademickim − szacun dla ciebie jeśli znasz je na pamieć

Eta: Można też tak sinα*cosβ + cosα*sinβ= sin( α+β)

	√3		1		π		π
2(		*sinx +		*cosx)= 2( sinx*cos		+ sin		*cosx=
	2		2		6		6

	π
=2sin( x +		)
	6

ZW= < −2, 2> f(x) {min}= −2 , f(x) _max= 2

ancymon: no tak, tak właśnie sie powinno rozwiazac na poziomie szkoly sredniej, jednak bardzo ciekawi mnie ten sposob Vaxa ^^

M4ciek: No ten sposób o wiele bardziej zrozumiały

Vax: Przepraszam, że tak długo, ale nie zauważyłem wcześniej tych postów, podane przeze mnie nierówności można udowodnić w ten sposób, mamy pokazać: −√A²+B² ≤ Asinα+Bcosα ≤ √A²+B² Zauważmy, że:

	A		B
Asinα+Bcosα = √A2+B2 * (		sinα +		cosα)
	√A2+B2		√A2+B2

Niech teraz β będzie takim kątem, że:

	B		A
sinβ =		oraz cosβ =
	√A2+B2		√A2+B2

Wówczas przekształcając dalej mamy:

	A		B
√A2+B2 * (		sinα +		cosα) = √A2+B2 * (sinαcosβ+sinβcosα) =
	√A2+B2		√A2+B2

√A²+B² * sin(α+β) Mamy dowieść, że: −√A²+B² ≤ √A²+B² * sin(α+β) ≤ √A²+B² Ale teraz to już jest oczywiste, ponieważ zbiór wartości sin(α+β) wynosi <−1 ; 1>, 1 nierówność jest równością dla sin(α+β)=−1 a druga dla sin(α+β)=1 Pozdrawiam.