wielomiany marzenka: Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian Q okreslony wzorem ( Q x) = x⁴ + x³−x−1 wynosi x³ + x² + x +2 . Wyznacz reszte z dzielenia wielomianu W(x) przez x² −1.

marzenka:

Grześ: Ja zaraz zapiszę rozwiązanie

marzenka: dzieki

marzenka: and ?

Grześ: Tak więc z warunków w zadaniu zapisujemy wielomian: W(x)=H(x)*Q(x)+R(x) H(x) jest pewnym nieznanym wielomianem, lecz nie musimy znać go Q(x) − wielomian, przez który dzielimy R(x) − otrzymana reszta Najpierw znajdźmy miejsca zerowe wielomianu Q(x): Q(x)=x⁴+x³−x−1, grupujemy: x³(x+1)−(x+1)=(x³−1)(x+1)=(x−1)(x+1)(x²+x+1), więc zapiszmy teraz wielomian W(x): W(x)=H(x)*(x−1)(x+1)(x²+x+1)+(x³+x²+x+2). Teraz w zadaniu mamy określone, że musimy wyznaczyć reszte z dzielenia wielomianu W(x) przez (x²−1) Zapiszmy wielomian W(x) na drugi sposób: W(x)=G(x)*(x²−1)+ax+b Dlaczego wpisałem ax+b Bo reszta z dzielenia przez wielomian n−tego stopnia jest conajmniej o jeden stopień niższa. Taka mała dygresja Rozpiszmy nawias: W(x)=G(x)*(x−1)(x+1)+ax+b Zapiszmy jeszcze raz pierwszą formę wielomianu: W(x)=H(x)*(x−1)(x+1)(x²+x+1)+(x³+x²+x+2) Od razu widać, że powtarzają się nawiasy (x−1) i (x+1), więc dla uproszczenia musimy policzyć: W(1)=G(1)*(1−1)(1+1)+a*1+b=a+b W(−1)=G(−1)*(−1−1)(−1+1)+a*(−1)+b=−a+b, oraz z drugiego wielomianu: W(1)=H(1)*(1−1)(1+1)(1²+1+1)+(1³+1²+1+2)=5 W(−1)=H(−1)*(−1−1)(−1+1)((−1)²−1+1)+((−1)³+(−1)²−1+2)=1, czyli teraz porównujemy: a+b=5 −a+b=1 −−−−−−−−− 2b=6 więc b=3, a stąd: a=2 a=2 b=3 Reszta wynosi 2x+3

marzenka: czemu musielismy porownywac te obie reszty dlatego bo jedno i drugie jest rowne w(x) bardzo czytelnie rozpisane zadanie dziekuje

Grześ: Wielomian W(x) został zapisany na dwa sposoby Te wartości są po prostu równe, bo to ciągle ten sam wielomian, tylko zapisany względem innego dzielenia

marzenka: niby tak ale czemu jego reszta musi byc rowna? chyba rozumiem dzieki jeszcze raz

Grześ: nie Reszta, w którym miejscu porównałem reszty Ja porównałem wartości

marzynka: niby tak,ale tam wyszlo zero i to tak jakbys reszty porownywal

Grześ: No blisko blisko, dlatego te wartości się bierze, bo nie znamy wielomianu G(x) oraz H(x), a wtedy się one "zerują" Rozumiem o co Ci chodzi, a dokładniej, uściślę, że porównałem wartości tych reszt dla 1 oraz −1, ale nie konkretnie reszty

marzenka: ok, dziekuje jeszcze raz

Grześ: spoko, proszę bardzo

romanooo: żeby było szybciej wystarczy tą resztę podzielić przez x²−1 i reszta z dzielenia będzie odpowiedzią...

marzenka: dlaczego tak? skad to sie bierze? z czego wynika?