Matura rozszerzona K+K: wrzucam arkusz rozszerzony. Chętnych zapraszam do pomordowania się zad.1. Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie x² + mx + 8 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste takie, że suma ich kwadratów jest równa 11m − 34 . Zad.2. Funkcja liniowa f określona jest wzorem f(x) = ax + b dla x ∈ R . a) Dla a = 2008 i b = 2009 zbadaj, czy do wykresu tej funkcji należy punkt P = (2009,2009²) . b) Narysuj w układzie współrzędnych zbiór

	−1
A ={ (x,y) : x ∈ <− 1,3> i y =		x+ b i b ∈ <− 2,1>} .
	2

Zad.3. Dany jest wielomian W (x) = 8x³ − 6x² + ax + b . Jednym pierwiastkiem wielomianu jest prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej 2 razy orła w trzykrotnym rzucie monetą. Drugi pierwiastek jest równy prawdopodobieństwu wypadnięcia parzystej liczby oczek na każdej kostce w rzucie dwiema kostkami. Wyznacz trzeci pierwiastek wielomianu. Zad.4. → Punkt S = (0 ;0) jest środkiem boku AD równoległoboku ABCD . Wiadomo też, że AB = [4;3] → oraz BC = [6;2] . Wyznacz wierzchołki tego równoległoboku. Zad.5. Ciąg (a,b,c) jest geometryczny i a + b + c = 2 6 , zaś ciąg (a− 5,b− 4,c− 11) jest arytmetyczny. Oblicz a,b,c . Zad.6. Dany jest okrąg o₁ . Kreślimy cięciwę AB nieprzechodzącą przez środek okręgu o₁ , a następnie rysujemy okrąg o₂ współśrodkowy z okręgiem o₁ i styczny do cięciwy AB . Okręgi o₁ i o₂ ograniczają pierścień kołowy. Uzasadnij, że pole pierścienia kołowego nie zależy od długości promienia okręgu o₁ (zależy tylko od długości cięciwy AB ). Zad.7. Długości trzech krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka tworzą ciąg geometryczny o sumie 19. Objętość prostopadłościanu jest równa 216. Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu. Zad.8. Jeden z kątów trójkąta prostokątnego ma miarę 60(stopni) , promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość 1. Oblicz długości boków trójkąta. Zad.9. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędzie boczne są dwa razy dłuższe od krawędzi podstawy. 1. Wyznacz sinus kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.

	2
2. Wyznacz długość krawędzi podstawy, tak aby objętość ostrosłupa wynosiła		√11
	3

Zad.10. Dane są zbiory: A = {(x ,y) : x,y ∈ R |x² + y² |≤ 9} , B = { (x,y) : x,y ∈ R |y| ≤ 1 − x² } . Na płaszczyźnie zilustruj zbiory (A ∩ B ) i (A ∩ B′) . Zad.11. Wielomian W(x) = (x − 9x + 7)²005 , po wykonaniu potęgowania i dokonaniu redukcji wyrazów podobnych, zapisano w postaci W (x) = a_nxⁿ + a_n−1x^{n− 1} + ... + a₂x² + a₁x + a₀ . Oblicz sumę a_n + a_{n− 1} + ...+ a₂ + a₁ + a₀ . proszę też o pomoc ponieważ niektórych zadań nie potrafię zrobić

kamis: 8. Oznaczenia: a − długość przyprostokątnej przy kącie 30 b − długość przyprostokątnej przy kącie 60 c − długość przeciwprostokątnej Z układu równań: 2 = a + b − c

a
	= sin60
c

b
	= sin30
c

Po rachunkach wychodzi: a = 3 + √3 b = √3 + 1 c = 2(√3 + 1)

K+K: ja zrobiłam z zależności w trójkącie 30,60,90,stopni ale wyszło mi to samo

kamis: 3. |Ω| = 2³ = 8 A − zdarzenie polegające na wyrzuceniu co najmniej dwukrotnie orła

	4		1
P(A) =		=
	8		2

|Ω| = 6² = 36 B − zdarzenie polegające na wypadnięciu dwukrotnie parzystej liczby oczek

	32		1
P(B) =		=
	36		4

	1		1
Podstawiając do W(x) odpowiednio w miejsce x =		i x =		mamy:
	2		4

1 = a + 2b 1 = a+ 4b Z tego otrzymujemy: a = 1 b= 0 W(x) = 8x³ − 6x² + x = x(8x² − 6x + 1) Trzecim pierwiastkiem wielomianu jest x = 0

K+K: kamis a jakbym chciała zrobić zdarzenie odwrotne do zdarzenia a to jak by to byo

Rivi: To wtedy kiedy orzeł wypada raz lub wcale jest zdarzeniem odwrotnym. Generalnie przy takim zadaniu, to najlepiej wypisać wszystkie (całe osiem) i wybrać te pasujące z którym masz problem zadaniem?

K+K: wiesz nie bardzo wiem jak narysować zbiór A z zad 2

luk18: rysujesz prostą x=−1 i x=3 i zamalowywujesz przestrzeń między nimi. A skąd masz ten arkusz bo robiłem kiedys chyba taki sam....

Rivi: Rysujesz dwie proste x=−1 i x=3 − pomiędzy nimi jest interesujące nas pole. To "iksy" mamy

załatwione

	1		1
Rysujesz dwie proste y=−		x−2 oraz y=−		x+1 I pole pomiędzy tymi czterema prostymi
	2		2

jest interesującym nas zbiorem.

masz może odp do zad.9? Chciałbym zobaczyć czy dobrze zrobiłem

K+K: babka od matmy dała

Rivi: Zadanie drugie było w maju2009

K+K: zaraz wrzucę

K+K:

	2√55
sinα=
	15

i a=2

Rivi: Dziękuje

kamis: 6. Pole pierścienia: πr₁² − πr₂² = π(r₁² − r₂²) Jeśli połączysz punkty A i B cięciwy ze środkiem okręgów, przyjmijmy punktem S to w wyniku tego powstanie trójkąt równoramienny, o ramionach długości promienia okręgu r₁, podstawie długości cięciwy AB i wysokości opuszczonej na podstawę długości promienia okręgu r₂. Przyjmijmy punkt D, za punkt styczności r₂ z cięciwą Z trójkąta prostokątnego ADS i z tw. Pitagorasa:

	|AB|
r22 + (		)2 = r12
	2

	AB2
r12 − r22 =
	4

	AB2
Podstawiając do pola pierścienia: π(r12 − r22) = π
	4

K+K: dzięki kamis

luk18:

	2√105
ale tyle ci wyszedł sinα ? Czy takie są odpowiedz? Bo m wyszedł
	15

Rivi:

	√15		a√3
Wyszedł mi tyle, musisz gdzieś mieć błąd. hśb=		1/3hp=		z pitagorasa H
	2		6

	√33
ostrosłupa=		a
	3

Rivi:

	√15		a√3
Wyszedł mi tyle, musisz gdzieś mieć błąd. hśb=		1/3hp=		z pitagorasa H
	2		6

	√33
ostrosłupa=		a
	3

Rivi: h_śboczywiście też z "a" na końcu

K+K: takie są odp bo patrz przyjmijmy że h to wysokość podstawy H to wysokość ostrosłupa a krawędź podstawy 2a krawędź boczna h=U{a√3}{2] i z twierdzenia pitagorasa (ściana boczna)

	a2
h2=4a−
	4

	a√15
czyi h=
	2

	1
dalej z twierdzenia pit (trójkąt z h i H i		h)
	3

	a√33
H=
	3

	a√33		a√15
stąd sinα=		:
	3		2

	2√55
odwracasz mnożysz i wychodzi ci sinα
	15

Rivi: K+K, tylko na maturze nie przyjmuj, że wysokość ściany bocznej to "h" a ¹₃h to podstawy. Bo te "h" są różne, i by Ci odjęli. Najlepiej z indeksem h_śb h_p H, lub inna literkę niż te same oznaczenie to czegoś różnego

K+K: no tak za szybko pisałam he

K+K: mógłby mi ktoś pomóc zadaniem 4 bo w ogóle nie mam pomysłu

Rivi:

Czwarte jest beznadziejne

Skoro [BC]=[6,2] to [AD]=[6,2]

[AS]=12[AD]=[3,1]

a=(x,y) S=(0,0) [AS]=[3,1]

a=(0−3,0−1) a=(−3,−1)

d=a+[AD](−3+6,−1+2) d=(3,1)

b= a+[AB]

c=b+[BC]

K+K: no i proste a ja się tak głowiłam

K+K: ten wielomian w zadaniu 11 jest do potęgi 2005 ale i tak nie wiem jak się za nie zabrać

Artur: ja mam pytanie do 10 zadania, jak mamy |x² + y²|≤9 to nie potrzeba tego rozpisywać na jakieś dwa przypadki, bo wartość bezwzględna z liczby podniesionej do kwadratu jest dodatnia, prawda?

K+K: tak

K+K: tylko wiesz w tym drugim zbiorze y powinien być bez wartości bezwzględnej bo jakieś dziwadło wyjdzie

Vax: Aby obliczyć sumę współczynników wielomianu należy policzyć jego wartość dla x=1

K+K: miłego rozwiązywania ja muszę już uciekać na zakończenie roku

Żarliwy: W zadaniu ostatnim podstawiasz jedyneczkę za xsa. Wiesz dlaczego? I mamy (−1)²005, a to jest równe −1.

;): 1 Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie x² + mx + 8 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste takie, że suma ich kwadratów jest równa 11m − 34 . Δ > 0 x₁² + x₂² = 11m − 34 (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = 11m − 34 Δ = m² − 32 (m + 4√2)(m − 4√2) > 0 ⇒ m∊(−∞,−4√2)∪(4√2,∞) m² − 16 = 11m − 34 m² − 11m + 18 = 0 Δ = 121 − 72 √Δ = 7 m₁ = 2 m₂ = 9 ⋀ m∊(−∞,−4√2)∪(4√2,∞) ⇒ m = 9

;): 2 Funkcja liniowa f określona jest wzorem f(x) = ax + b dla x ∈ R . a) Dla a = 2008 i b = 2009 zbadaj, czy do wykresu tej funkcji należy punkt P = (2009,2009²) . b) Narysuj w układzie współrzędnych zbiór

	1
A ={ (x,y) : x ∈ <− 1,3> i y = −		x + b i b ∈ <− 2,1>}
	2

a) f(x) = 2008x + 2009 P∊ f(x) ⇒ 2009² = 2009(2008 + 1) 2009² = 2009²

;): 3. Dany jest wielomian W (x) = 8x³ − 6x² + ax + b . Jednym pierwiastkiem wielomianu jest prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej 2 razy orła w trzykrotnym rzucie monetą. Drugi pierwiastek jest równy prawdopodobieństwu wypadnięcia parzystej liczby oczek na każdej kostce w rzucie dwiema kostkami. Wyznacz trzeci pierwiastek wielomianu Ω⁼ = 2³ = 8 A = {(O,O,R),(O,R,O),(R,O,O),(O,O,O)} A⁼ = 4

	1
P(A) =
	2

Ω⁼ = 36 B = {(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(4,4),(4,6),(6,4),(6,6)} B⁼ = 9

	1
P(B) =
	4

	1		3		1
W(		) = 0 ⇒ 1 −		+		a + b = 0
	2		2		2

	1		1		3		1
W(		) = 0 ⇒		−		+		a + b = 0
	4		8		8		4

	1		1
		a + b =
	2		2

	1		1
−		a + b =
	4		4

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− a = 1 b = 0 W(x) = 8x³ − 6x² + x ⇒x₃ = 0

Tomek.Noah: ok jakby ktos chcail to zrobilem wszystkie zadania

;): 4. Punkt S = (0 ;0) jest środkiem boku AD równoległoboku ABCD . Wiadomo też, że AB^→ = [4;3] oraz BC^→ = [6;2] . Wyznacz wierzchołki tego równoległoboku. AD^→ = BC^→

	1
AS→ =		BC→
	2

[−x,−y] = [3,1] A = (−3,−1) D = (3,1) B = (1,2) C = (7,4)

;): 5. Ciąg (a,b,c) jest geometryczny i a + b + c = 2 6 , zaś ciąg (a− 5,b− 4,c− 11) jest arytmetyczny. Oblicz a,b,c . b² = ac 2b − 8 = a + c − 16⇒ 2b + 8 = a + c a + b + c = 26 ⇒3b = 18 b = 6 c = 20 − a a² − 20a + 36 = 0 Δ = 100 − 36 √Δ = 8 a₁ = 10 − 8 = 2 a₂ = 10 + 8 = 18 c₁ = 18 c₂ = 2

;): 6. Dany jest okrąg O₁ . Kreślimy cięciwę AB nieprzechodzącą przez środek okręgu O₁ , a następnie rysujemy okrąg O₂ współśrodkowy z okręgiem O₁ i styczny do cięciwy AB . Okręgi O₁ i O₂ ograniczają pierścień kołowy. Uzasadnij, że pole pierścienia kołowego nie zależy od długości promienia okręgu O₁ (zależy tylko od długości cięciwy AB ). R − promień dużego koła r − promień małego koła P_pierścienia = π(R² − r²)

	1
(		|AB|)2 + r2 = R2
	2

	1
R2 − r2 =		|AB|
	4

	1
Ppierścienia = π(		|AB|)
	4

Więc pole pierścienia zależy od długości cięciwy AB c.n.u

;): 7. Długości trzech krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka tworzą ciąg geometryczny o sumie 19. Objętość prostopadłościanu jest równa 216. Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu. a∊(0,13) a + b + c = 19 ⇒ c = 13 − a abc = 216 ⇒ b³ = 216 b = 6 b² = ac a² − 13a + 36 = 0 Δ = 169 − 144 √Δ = 5 a₁ = 4 a₂ = 9 c₁ = 9 c₂ = 4 P_c = 2 (4 * 6 + 4 * 9 + 6 * 9) = 228[j]²

Jakub: Bardzo łatwe.

;): 8. Jeden z kątów trójkąta prostokątnego ma miarę 60^o , promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość 1. Oblicz długości boków trójkąta.

	a + b − c
r =
	2

a + b − c = 2

	c√3		1
b =		a =		c
	2		2

1		c√3
	c +		− c = 2
2		2

	√3 − 1
c(		) = 2
	2

	4
c =
	√3 − 1

c = 2(√3 + 1) b = 3 + √3 a = √3 + 1

;): Oczywiście zapomniałem kątów przy rysunku

dawid: oblicz pole powierzchni i objetosc stożka ,którego tworząca wynosi 5cm a promień podstawy jest równy 3cm

Rivi:

mam pytanko: http://zapodaj.net/78b705402c41.jpg.html

dobrze narysowałem te zbiory w 8.?

Czyli AnB to jest to małe kółko w środku (niebieskozielone) a AnB' to jest pierścień?

wiem, jakoś obrazka powala

Rivi: przepraszam, w 10

rumpek: Trochę to dziwne, że wszystkie zadania są z zadania.info http://www.zadania.info/5766460

Rivi: Ach... czyli oryginalnie tam nie ma wart. bezwzględnej? Aaaacha...

ceaser I: macie gdzieś do tego gotowe odpowiedzi, bardzo bym prosił