geometria analityczna Kasia: Dane są punkty A=(6,−3), B=(1,2) i C=(2m³−18m, −m²). Wyznacz wszystkie wartości m dla których proste AB i AC są prostopadłe.

Gustlik: Oznacza to prostopadłość wektorów AB^→ i AC^→, a więc ich iloczyn skalarny=0. Liczę współrzędne tych wektorów: AB^→=B−A=[1−6, 2+3]=[−5, 5] AC^→=C−A=[2m³−18m−6, −m²+3] Liczę iloczyn skalarny ze wzoru: https://matematykaszkolna.pl/strona/1629.html : AB^→*AC^→=−5(2m³−18m−6)+5(−m²+3)=−10m³+90m+30−5m²+15= =−10m³−5m²+90m+45 −10m³−5m²+90m+45=0 /:5 −2m³−m²+18m+9=0 −m²(2m−1)+9(2m−1)=0 (2m−1)(9−m²)=0 (2m−1)(3−m)(3+m)=0

	1
Odp: m=		v m=3 v m=−3
	2

hmmm: gustlik wylicz to plz https://matematykaszkolna.pl/forum/93597.html , dzieki

Kasia: a nie dało by się jakimś prostszym sposobem bo to zadanko jest na poziomie matury podstawowej

Gustlik: Kasiu − to jest proste jak konstrukcja młotka. Krótki kurs naprawiajacy błędy debili z MEN, którzy spaprali ten program. Współrzędne wektora liczy się wg wzoru: AB^→=[x_B−x_A, y_B−y_A], czyli od współrzednych konca wektora odejmujesz współrzędne początku, przy takim zapisie AB^→ początkiem jest A, a końcem B, czyli współrzedne B minus wspólrzedne A. Jeżeli masz dwa wektory o wyliczonych współrzędnych, dajmy na to u^→=[u_x, u_y] i v^→=[v_x, v_y] to iloczyn skalarny liczysz wg wzoru: u^→*v^→=u_x*v_x+u_y*v_y, czyli mnozysz współrzędna x−ową pierwszego wektora przez x−ową drugiego, podobnie mnożysz współrzędne y−owe i te iloczyny dodajesz. Ponieważ iloczyn skalarny można obliczyć z innego wzoru u^→*v^→=|u^→|*|v^→|*cosα, gdzie α to kąt między tymi wektorami, a |u^→| i |v^→| to długości tych wektorów, gdy wektory sa prostopadle to iloczyn=0, bo cos90^o=0. Oczywiście można to zrobić innym sposobem, np. obliczyć wspólczynniki kierunkowe prostych AB i

	yB−yA		yC−yA
AC ze wzoru aAB=		i aAC=		i skorzystać z warunku na
	xB−xA		xC−xA

	1
prostopadłość aAB=−		, ale o ile wiem tego prostego wzoru też nie ma w karcie
	aAC

wzorów, jest za to ten długi tasiemcowy wzór na równanie prostej przechodzącej przez 2 punkty: https://matematykaszkolna.pl/strona/1223.html . Ale on jest, przynajmniej dla mnie ciężko strawny i trudny do zapamiętania, trzeba się sporo naliczyć robiąc tym wzorem. Sposób z wektorów jest najprostszym sposobem, jaki zaproponowałem − prostszego nie ma. Naprawdę proponuję douczyć się nieco materiału przeniesionego na rozszerzenie [B[(kolor brązowy na tut. stronie)]], bo powiem wprost:to, co zrobili z matematyką podstawową to woła o pomste do nieba. Uczenie matematyki na poziomie podstawowym ścisle wg programu MEN i CKE to UDAWANIE UCZENIA, A NIE UCZENIE. Wiele ciekwaych i prostych metod zostało przeniesionych na rozszerzenia, a na podstawach rozwiazuje się zadania metodami na okrętkę. A już najgorszego bajzlu zrobili w geometrii analityczne, w której wektory są niestety PODSTAWĄ, z wielomianami i z rachunkiem prawdopodobieństwa.

Romek: Gustlik, a ja mam takie pytanie czy czasami jedna z prostych nie jest prostopadła do drugiej gdy współczynnik kierunkowy daje −1 ?

Gustlik:

	1
Romek, opisałem ten sposób aAC=−		.
	aAB

wewe: prostszym sposobem wydaje mi sie zrobic tak: 1. wyznaczyc prosta przechodzaca przez punkty AB z y=ax+b 2. wyznaczyc prosta prostopadla to AB aby przechodzila przez punkty A 3. no i nastepnie na z utworzonej drugiej prostej podstawic wspolrzedne punktu C = (2m³−18m , −m²)

Kasia: Gustlik dzięki za tak szerokie ujęcie tematu, za kilka dni piszę maturę i mam nadzieje że mi to coś pomoże

Gustlik: Wewe, wystarczy wyznaczyc wspołczynniki kierunkowe obu prostych i podstawić do warunku na prostopadłość, ale o tym pisałem, lecz nie jest to krótszy sposób niż wektorowy, a na pewno wyznaczanie całych równań obu prostych jest dłuższym sposobem. Naprawdę najkrócej mozna to rozwiązać z iloczynu skalarnego wektorów, tylko pewnie nie znasz tej metody, bo jak pisałem − jakiś pijany i naćpany debil z MEN wykreślił wektory z poziomu podstawowego i Ty uczyłeś się "na okrętkę", a rachunek wektorowy jest bardzo prosty i znacznie upraszcza rozwiązywanie zadań z geometrii analitycznej.