kazdy temat hashiri: Prosze niech ktos mi pomoze w tych zadaniach 1. Czy iloczyn dwóch dodatnich liczb naturalnych różniących się o 2 może być kwadratem liczby naturalnej? Odpowiedź uzasadnij. 2. Ile jest liczb czterocyfrowych, o niepowtarzających się cyfrach, w których zapisie występuje cyfra 7? Odpowiedź uzasadnij. 3. W trójkąt wpisany jest okrąg o promieniu 2. Punkt styczności dzieli jeden z boków na odcinki o długościach 2 i 3. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie. 4. Czy można wybrać 19 takich liczb całkowitych (niekoniecznie różnych), aby ich suma była dodatnia i ustawić je w szeregu, w takiej kolejności, aby suma każdych trzech kolejnych liczb była ujemna? Odpowiedź uzasadnij. 5. Dany jest okrąg o środku S. Proste PA i PB są styczne do tego okręgu odpowiednio w punktach A i B. Punkty E i F należą do odcinków PA i PB, a prosta EF jest styczna do tego okręgu. Kąty EPF i ESF są równe. Oblicz miarę kąta EPF. 6. Czy istnieje taki ostrosłup czworokątny, że dwie jego ściany boczne nie mające wspólnej krawędzi są prostopadłe do podstawy? Odpowiedź uzasadnij.

hashiri: Ktos zrobi choc jedno z tych zadan Błagam Was

hashiri: PROSZE WAS POMOZCIE NAPRAWDE! PLISSSSSSSSSSSSSSSS

Bogdan: ad 4. Bierzemy trzy liczby dodatnie; a, b, c takie, że a + b - c < 0, czyli a + b < c i ustawiamy je w szereg: a, b, -c, a, b, -c, a, b, -c, a, b, -c, a, b, -c, a, b, -c, a. Sprawdzamy znak sum kolejnych trzech liczb w tym szeregu: a + b - c < 0, b - c + a < 0, -c + a + b < 0, a + b - c < 0, .... , b - c + a < 0, a więc wszytkie te sumy są ujemne. Wiemy, że a + b - c + a + b - c + a + b - c + a + b - c + a + b - c + a + b - c + a >0 a + 6a + 6b - 6c > 0 a + 6(a + b - c) > 0 a > -6(a + b - c), wyrażenie w nawiasie jest ujemne, wobec tego -6(a + b - c) jest dodatnie. Dobieramy liczby a, b, c, np.: a = 7, b = 1, c = 9. Sprawdzamy: 7 + 1 - 9 = -1 < 0 7 + 6*(-1) = 1 > 0 Szereg: 7, 1, -9, 7, 1, -9, 7, 1, -9, 7, 1, -9, 7, 1, -9, 7, 1, -9, 7 a = 10, b = 0, c = 11 Sprawdzamy: 10 + 0 - 11 = -1 < 0 10 + 6*(-1) = 4 > 0 Szereg: 10, 0, -11, 10, 0, -11, 10, 0, -11, 10, 0, -11, 10, 0, -11, 10, 0, -11, 10

Bogdan: ad 3. Z warunków zadania wynika, że trójkąt jest prostokątny (promień okręgu wpisanego r = 2 oraz punkt styczności dzieli jeden z boków na odcinki o długościach 2 i 3). Środek okręgu wpisanego w trójkat jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta. Przyprostokątne mają długość: 5, 2 + x, x > 0. Przeciwprostokątna ma długość 3 + x. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równanie: 5² + (2 + x)² = (3 + x)², stąd x = 10. Wobec tego przeciwprostokątna ma długość 13, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie R = 13/2.

Bogdan: ad 5. Z warunków zadania wynika, że czworokąt SEPF jest rombem, w którym przekątne to: SP i EF. G - punkt przecięcia tych przekątnych rombu SEPF i jednocześnie punkt styczności odcinka EF z okręgiem. Tworzymy odcinek CD równoległy do EF i styczny do okręgu. Widzimy trójkąt równoramienny CDP, ramiona to: DP i CP. Punkty D, A, E, P leżą na jednej prostej oraz punkty C, B, F, P leżą na jednej prostej. Okrąg o środku S jest okręgiem wpisanym w trójkąt CDP. Punkt S jest więc punktem przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta CDP. α - szukana miara kąta EPF. α = |<EPF| = |< ESF|. Łatwo wykazać, że trójkąty SAE i EGS i EGP są przystające, więc: α/2 = |<ESA| = |<GSE| = |<EPG|, stąd |<GSA| = |ESA| + |<GSE| = α/2 + α/2 = α. Trójkąt SAP jest prostokątny, w tym trójkącie |<APS| = α/2 oraz |<PSA| = 90^o - α/2. |<PSA| = |<GSA| stąd 90^o - α/2 = α, więc 90^o = (3/2)α i ostatecznie α = 60^o.

Eta: Bogdanie! Masz dzisiaj " Dzień Dobroci" ? Podziwiam Cię

Bogdan: ad 1. n - dodatnia liczba naturalna k - dodatnia liczba naturalna Załóżmy, że n * (n + 2) = k². n * (n + 2) = n² + 2n = n² + 2n + 1 - 1 = (n + 1)² - 1, stąd (n + 1)² - 1 = k² → (n + 1)² - k² = 1 Korzystając z wzoru skróconego mnożenia otrzymujemy: (n + 1 - k)(n + 1 + k) = 1 Ponieważ liczby: (n + 1 - k) i (n + 1 + k) są całkowite, wobec tego ich iloczyn jest równy 1 tylko wtedy, gdy n + 1 - k = 1 i n + 1 + k = 1 lub n + 1 - k = -1 i n + 1 + k = -1, co jest sprzeczne z uwagi na to, ze n > 0 i k > 0 A więc iloczyn dwóch dodatnich liczb naturalnych różniących się o 2 nie jest równy kwadratowi liczny naturalnej k.

Bogdan: Dziękuję Eto. Nareszcie pojawiły się ciekawsze zadania i z przyjemnością zacząłem je rozwiązywać. Niestety, domownicy mnie już popędzają i pozostałe dwa zostawiam do rozwiązania innym pasjonatom łamigłówek. Życzę dobrej nocy

też matex: ad 6 niemożliwe, ponieważ przecinając ostrosłup wychodzi nam trójkąt, a mając 2 kąty proste w trójkącie nie jesteśmy w stanie stworzyć trzeciego kąta. albo górny wierzchołek nie będzie wierzchołkiem, a krawędzią, więc będzie inną figurą niż ostrosłup.