Jedynym rozwiązaniem wymiernym równania 2x^3+x^2-10x+m=0, gdzie m jest liczbą ca Maryś: Jedynym rozwiązaniem wymiernym równania 2x³+x²−10x+m=0, gdzie m jest liczbą całkowitą, jest liczba a∊(1,2). a) Wyznacz liczbę m. b) Znajdź inne pierwiastki tego wielomianu. w odp. jest m=6 i pierwiastki równe −1−√3 oraz −1+√3

Maryś: podbijam...

Maryś: podbijam

Maryś: ?

Maryś:

Maryś:

Maryś: proszę o pomoc

Eta:

	3
Pierwiastkiem wymiernym z tego przedziałui jest ;
	2

	3
W(		)=0
	2

	27		9		3
2*		+		−10*		+m=0 => 9− 15+m=0 => m=6
	8		4		2

	3
W(x) = 2x3+x2 −10 x +6 , dzieląc W(x) przez ( x−		)
	2

otrzymasz

	3
W(x) = ( x −		)(2x2+4x−4)
	2

2x²+4x−4=0 policz teraz deltę i x₁− x₂

Maryś:

	3
ale dlaczego akurat		jest pierwiastkiem?
	2

Gustlik: Wynika to z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu: jeżeli ułamek nieskracalny

	p
		jest pierwiastkiem wielomianu całkowitego, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego oraz q
	q

jest dzielnikiem współczynnika wiodącego (czyli współczynnika pierwszego wyrazu wielomianu − tego przy najwyższej potędze x − przyp. Gustlik) ( źródło: http://pl.wikipedia.org/wiki/Wielomian#Szukanie_pierwiastk.C3.B3w ). W przedziale (1, 2) jest tylko jedna liczba mogąca spełnić warunki wynikające z tego twierdzenia − pierwszy wyraz ma współczynnik 2, więc istnieje TYLKO JEDNA LICZBA CAŁKOWITA mogąca być licznikiem tego ułamka,

	3		2		4		5
czyli 3. stąd		.		=1,		=2 czy		nie należą do przedziału (1, 2).
	2		2		2		2

Maryś: dzięki bardzo, nie mogłam tego załapać