ciągi lola: Udowodnij że ciąg lim sin n nie istnieje. Jak się w ogóle za to zabrać? Proszę o pomoc

Jack: znajdź dwa podciągi sin n zbieżne do różnych wartości

lola: podciągiem takiego ciagu może być sin (n+1) i sin (n−1) ?

Jack: nie bo wciąż nie wiesz do czego te dwa są zbieżne (a skądinąd są rozbieżne).

lola: to jakie mogą być?

lola: zamiast n+1 czy tam n−1 to jakieś konkretne wartości?

Jack: coś z π kombinuj

lola:

	1		3
np że sin		π= 1 a sin		π= −1 ?
	2		2

Jack: blisko, ale skoro argument sin n ucieka to ∞, to Twoja propozycja też musi to uwzględniać (tzn. Twoje "1/2π" i "3/2π" musi uciekać też do ∞)

lola: czyli " n" tam brakuje?

lola: tzn lim sin ¹₂ n π i lim sin ³₂n π ?

Jack: tak, gdzieś go tam musisz uwzględnić Kurcze no, blisko jesteś

Jack: hmm.. a może znajdziesz taki argument α dla którego sin α = TYLE SAMO, dla każdego n ?

lola: to ja nie wiem

Jack: zobacz co się będzie działo dla α₁=¹₂π+2kπ i dla α₂=³₂π+2kπ. Tzn po pierwsze, czy uciekają do ∞ wraz z n→∞ oraz po drugie, czy sin α₁ i sinα₂ są zbieżne do różnych wartości.

Jack: sorry... zamiast "k" wstaw "n".

lola: nie bardzo rozumiem.. sin 2nπ= sin nπ ?

Jack: lim_n→∞sin (¹₂π+2nπ)=... oraz lim_n→∞sin (³₂π+2nπ)=...

lola: do nieskończoności uciekają no i nie są zbieżne czyli granica nie istnieje?

Jack: są zbieżne... i to do różnych wartości. Gdyby nie były w ogóle zbieżne, to cała praca poszłaby na marne. Albo skorzystasz ze wzoru, że dla dowolnego n∊N mamy, że sin (α+2nπ)=sinα albo zauważ coś z wykresu funkcji sinx.

lola: tzn chodziło mi o to ze dążą do rożnych wartosci przeanalizuje sobie to dziękuję Ci bardzo za pomoc

Jack: bardzo proszę

lola: Chciałam się jeszcze upewnic czy dobrze zapisałam zadanie: a_n= sin n π

	1
a12n= sin		n π=1
	2

	1		1
a12n+1= sin(		n +1) π= sin		n π+ π= −1
	2		2

Ciąg a_n ma dwa podciagi zbieżne do róznych granic stąd wynika że ciąg a_n nie jest zbieżny. ?

Jack: a_n=¹₂π+2nπ b_n=³₂π+2nπ oba dla n→∞ uciekają do ∞. Zatem założenia def. Heinego są spełnione. Teraz należy pokazać, że lim_n→∞ sin(¹₂π+2nπ) ≠ lim_n→∞ sin(³₂π+2nπ) Tak oczywiście jest, ponieważ lim_n→∞ sin(¹₂π+2nπ) =sin ¹₂=1 oraz lim_n→∞ sin(³₂π+2nπ) =sin ³₂=−1