Wykaż że
Waldek: W prostopadłościanie długości krawędzi o wspólnym wierzchołku są równe a, b, c, długość
przekątnej prostopadłościanu jest równa d. Wykaż, że a + b + c ≤ d
√3.
Dzięki z góry za wytłumaczenie, bo zadania z "wykaż" idą u mnie słabiutko
27 kwi 17:35
Godzio:
d =
√a2 + b2 + c2
Korzystam z zależności: śr. arytmetyczna ≤ średnia kwadratowa:
| a + b + c | | √a2 + b2 + c2 | |
| ≤ |
| / * 3 |
| 3 | | √3 | |
| | 3√a2 + b2 + c2 | |
a + b + c ≤ |
| |
| | √3 | |
a + b + c ≤
√3 *
√a2 + b2 + c2
a + b + c ≤ d
√3
27 kwi 17:40
Vax: Zauważ, że d = √a2+b2+c2 ⇔ d√3 = √3(a2+b2+c2)
Teza sprowadza się do pokazania, że dla dodatnich a,b,c zachodzi:
√3(a2+b2+c2) ≥ a+b+c
Po podniesieniu do kwadratu i zredukowaniu wyrazów podobnych otrzymujemy do pokazania, że:
a2+b2+c2 ≥ ab+ac+bc
Co można już dowieść na wiele sposobów, np pomnożyć przez 2 i zawinąć:
(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2 ≥ 0
Pozdrawiam.
27 kwi 17:48