proste przecinające się w III ćwiartce kasia1990: wyznacz liczbę a tak aby proste o równaniach l:y=x+a, k:y=-2x-(2a+6) przecinały się w III ćwiartce układu współrzędnych.

kasia1990: PROSZĘ POMÓŻCIE MI

Bogdan: Rozwiązuję

Bogdan: Mamy układ równań: 1. y = x + a 2. y = -2x -2a - 6 2. x + a = -2x -2a - 6 → 3x = -3a - 6 /:3 → x = -a - 2 1. y = -a - 2 + a → y = -2 Jeśli proste przecinają się w III ćwiartce, to x < 0 i y < 0, zatem -a - 2 < 0 i -2 < 0 a > -2 Odp. proste przecinają się w III ćwiartce dla a > -2

kasia1990: Dziękuję bardzo

kasia1990: Bogdan mógłbyś mi pomóc z innymi zadaniami?

Bogdan: Dobrze, a z którymi?

kasia1990: wykaż , że jesli odcięte punktów A, B i C należących do prostej y = 2x tworzą ciąg geometryczny to ich rzędne również tworzą ciąg geometryczny

kasia1990: Trójkąt ABC jest prostokątny, równoramienny, o kącie prostym przy wierzchołku C. Punkt A jest środkiem układu współrzędnych, punkt B należy do osi OY, a bok AB trójkąta ma długość 4. Wyznacz równania prostych, w których zawierają się boki AC, BC tego trójkąta, jęsli wiadomo, że trójkąt zawarty jest w I ćwiartce.

Bogdan: Rozwiązuję

kasia1990: dziękuję

Bogdan: A = (x_A, y_A), B = (x_B, y_B), C = (x_C, y_C), Założenie: Z warunku istnienia ciągu geometrycznego: x_B² = x_A * x_C Mamy wykazać, że y_B² = y_A * y_C Ponieważ y = 2x, to y_A = 2x_A, y_B = 2x_B, y_C = 2x_C. Bierzemy zależność z założenia: x_B² = x_A * x_C i wymnażamy ją przez 4 = 2*2. Otrzymujemy: 4x_B² = 2x_A * 2x_C a więc y_B² = y_A * y_C

Bogdan: Rozwiązuję kolejne zadanie

kasia1990: dane jest równanie prostej y=2x-1, w której zawarta jest przekątna AC kwadratuABCD,oraz punkt przecięcia się przekątnychS(2,3)wyznacz współrzędne wierzchołków A i C tego kwadratu jeśli wiadomo że jego bok ma długość 2 √10

Bogdan: Prosta w postaci kierunkowej wyraża się wzorem: y = ax + b, gdzie: a - współczynnik kierunkowy prostej, b - współczynnik przesunięcia równoległego prostej. a = tgα, α - kąt nachylenia prostej do osi x, b to liczba równa rzędnej przecięcia prostej osi y, czyli dla x = 0 y = b. Prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych i nachylona pod kątem 45^o do osi x ma równanie: y = x, tutaj a = 1 bo tg45^o = 1, b = 0. Prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych i nachylona pod kątem 135^o ma równanie: y = -x, tutaj a = -1 bo tg135^o = -1, b = 0. Jeśli trójkąt prostokątny równoramienny jest położony przeciwprostokątną AB na osi y, to jego przyprostokątne są nachylone do osi x pod kątem 45^o (ramię trójkata AC) oraz pod kątem 135^o (ramię trójkata BC). Odp.: Bok AB leży na prostej x = 0, bok AC leży na prostej y = x, bok BC leży na prostej y = -x + 4.

Bogdan: Pytanie: czy bok kwadratu ma długość 2√10? czy 10√2 ?

kasia1990: Wyznacz współrzędne punktu P leżącego na prostej przechodzącej przez punkty A= (2,1), B=(-1,2), którego odległość od prostej y = 3/4 x - 2 jest równa 2

kasia1990: 2 z √10

Bogdan: Jeśli bok kwadratu ma długość 2√10, to jego przekątna ma długość 2√10*√2 = 4√5. Tworzymy okrąg o środku S(2, 3) i promieniu długości (1/2)*4√5 = 2√5: (x - 2)² + (y - 3)² = 20. Ten okrąg przecina prostą y = 2x - 1 w punktach A i C. Rozwiązujemy układ równań: 1. y = 2x - 1 2. (x - 2)² + (y - 3)² = 20 → (x - 2)² + (2x - 1 - 3)² = 20 (x - 2)² + (2x - 4)² = 20 (x - 2)² + 4(x - 2)² = 20 5(x - 2)² = 20 (x - 2)² = 4 x - 2 = -2 lub x - 2 = 2 x = 0 lub x = 4 y = -1 lub y = 7 Odp.: A = (0, -1), B = (4, 7)

Bogdan: Za chwilę podam rozwiązanie następnego zadania

Bogdan: Prosta k przechodząca przez punkt P(x_o; y_o) ma równanie: y - 1 = a(x - 2). a = (1 - 2) / (2 + 1) = -1/3. Prosta k: y = -(1/3)x + 2/3 + 1 → y = (-1/3)x + 5/3 Stąd P = (x_o; (-1/3)x_o + 5/3) Prosta m: y = (3/4)x - 2 → 4y = 3x - 8 → 3x - 4y - 8 = 0 (A = 3, B = -4, C = -8). Odległość punktu P od prostej m jest równa 2, czyli: |Ax_o + B( (-1/3)x_o + 5/3 ) - 8| 2 = ------------------------------------------- √9 + 16 Rozwiązujemy równanie: |3x_o - 4( (-1/3)x_o + 5/3 ) - 8| = 10 Spróbuj sama rozwiązać to równanie. Otrzymasz dwa rozwiązania: x_o' oraz x_o". Potem oblicz y_o' oraz y_o" z zależności: y_o = (-1/3)x_o + 5/3. Powodzenia.

kasia1990: ok dziękuję ci bardzo teraz to już dokończę

kasia1990: Bogdan mam pytanie dlaczego w zadaniu z kwadratem jak wyciągamy przed nawias to jest cztery a nie2?

Bogdan: bo 2² = 4 (2x - 4)² = [ 2(x - 2) ]² = 2² * (x - 2)² = 4(x - 2)²

kasia1990: dziękuję