Rownanie rozniczkowe Olka: Mógłbym mi ktoś tak mniej więcej to wytłumaczyć? Rozwiąż zagadnienia początkowe dla równań różniczkowych zmiennych rozdzielonych 1) xy'+y²=o , y(1)=1 2) e^y(y'+1)=1 , y(0)=0

Olka:

Olka: ?

Olka: up

Olka: Bardzo proszę.

Olka: ..

Olka: ..

bart: nie rycz

Olka: Jak tu nie ryczeć?

Sabin: Czy w tym pierwszym przykładzie po prawej stronie jest zero?

Olka: Tak.

Sabin: Troche tego jest... no ale po kolei... 1. Zauważ, że funkcja y = 0 spełnia to równanie. Dla x = 0 również jedynym rozwiązaniem jest y = 0. Pamiętaj, że tam tak prawidłowo jest y(x) oraz y'(x), ale będziemy ten 'x' pomijać w zapisie. Przekształcamy do postaci:

	y2		1
y' = −		czyli y' = −		y2
	x		x

zapiszmy pochodną nieco inaczej, czyli y'(x) = ^dy_dx

dy		−1		1
	=		y2 /*(dx*		)
dx		x		y2

dy		−dx
	=
y2		x

y⁻²dy = −x⁻¹dx

	1
i teraz całkujesz stronami. Mi wyszło y =
	ln|x| − c

Następnie podstawiasz za x warunek początkowy y(1) = 1, czyli znajdujesz c z równania

	1
1 =
	ln|1| − c

Wyliczone c podstawiasz do wzoru i masz rozwiązanie.

Olka: Dziękuję bardzo

Sabin:

	dy
Podpunkt 2 robi się analogicznie − doprowadzasz równanie do postaci		= U{1 −
	dx

	ey
ey}{ey}, stąd:		dy = dx, a stąd analogicznie jak wyżej − całka i takie tam.
	1 − ey

Tu wyszło mi y = ln(x + 1 + c), potem warunek początkowy. Mogłem zasadzić jakiegoś babola przy obliczeniach, więc licz ostrożnie.

Olka: A mam jeszcze jedno. To jest równanie jednorodne x²y'=xy+y². Dziękuję bardzo za 2 powyższe rozwiązania.

Sabin: Dla x = 0 rozwiązaniem jest y = 0. Dzielimy przez x², rozbijamy prawą stronę na 2 ułamki i doprowadzamy do postaci:

	y		y
y' =		+ (		)2
	x		x

Podstawiasz z(x) = ^y(x)_x, stąd y(x) = x*z(x), a stąd y'(x) = z(x) + xz'(x) wracając do naszego pierwszego równania: z + xz' = z + z² xz' = z² /:xz²

z'		1
	=
z2		x

I dalej analogicznie jak w poprzednich − całka stronami, dostaniesz wynik na funkcję z(x), za którą jeszcze trzeba podstawić ^y(x)_x. Wychodzi coś koło:

	x
y(x) = −		oraz y = 0 (z początku rozważań).
	ln|x| + c