Zadania Godzio: Zadania dla Kejt − Wielomiany 1.Reszty a) Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x) = x³ + 8 jest trójmianem kwadratowym R(x) = 3x² − 5x + 2. Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez dwumian (x + 2) b) Dla jakich wartości parametru m reszta z dzielenia wielomianu W(x) = m²x⁸ − 5x⁴ − 3m przez dwumian (x − 1) jest równa −1 ? c) Dla jakich wartości parametrów a i b reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x) jest równa R(x) gdy: W(x) = x³ + 4x² + ax + b, P(x) = x² + 3x + 2, R(x) = −10x − 1 d) Dla jakich wartości parametrów a i b wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian P(x) gdy: W(x) = x⁴ − 2x³ + ax² − 3x + b, P(x) = x² − 3x + 3 2.Pierwiastki wielomianu, twierdzenie Bezouta a) Wykaż że liczba r jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x) jeśli: W(x) = x⁴ + 2x³ + 3x² − 4x + 2, r = 1 b) Dla jakich wartości parametrów a,b liczba r jest trzykrotnym pierwiastkiem W(x) jeśli: W(x) = x⁴ − 2x³ + ax + b, r = 1 c) Oblicz sumę wszystkich współczynników wielomianu W(x) jeśli: W(x) = (x³ − x + 1)²⁰⁰⁰ + (x² + x − 1)²⁰⁰¹ d) Wykaż że dla każdego n ∊ N₊ wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x − r) jeśli: W(x) = nx^{n + 1} − (n − 1)xⁿ − 1, r = 1 e) Dla jakich wartości parametru a wielomian W(x) = x⁴ + 4x³ + 10x² + 12x + a jest kwadratem wielomianu stopnia drugiego 3.Rozkład na czynniki, równania i nierówności wielomianowe z parametrem a) Rozłóż na czynniki: → W(x) = x⁴ + 3x³ − 15x² − 19x + 30 → W(x) = 2x³ − 5x² − x + 6 b) Rozwiąż równania: → x⁸ − 15x⁴ − 16 = 0 → |x| + x³ = 0 → |x³ − 1| = x² + x + 1 c) Jednym z rozwiązań równania 3x³ + ax² + bx + 12 = 0, gdzie a,b ∊ C jest liczba 1 + √3 Znajdź a i b. d) Dla jakich wartości parametru m równanie x⁴ + (m − 3)x² + m² = 0 ma cztery różne rozwiązania. e) Dla jakich wartości parametru m równanie x⁴ + 2(m − 2)x² + m² − 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki. f) Rozwiąż nierówność: − x⁴ + 8x³ + 12x² ≥ 0 − 4|x| − |x|³ ≤ 0 − 3x² ≤ |x³ − 3x| g) Wykaż że nierówność x⁴ + 2x³ + 3x² + 2x + 2 > 0 jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą x I ostatnie: Dany jest wielomian W(x) = −2x³ + kx² + 4x − 8, x ∊ R a) Wyznacz wartość k tak, aby reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian (x + 1) była równa −6 b) Dla znalezione wartości k rozłóż wielomian na czynniki liniowe c) Rozwiąż nierówność W(x + 1) ≤ −3x³ + 5x − 2 Powodzenia !

;): O fajnie Godzio dzięki przyda się do potrenowania przed maturką

ICSP: Godziu jutro zrobię te zadanka i spróbuję przesłać ci odpowiedzi mailem Mam nadzieję ze powiesz mi które są poprawnie a które muszę jeszcze poprawić

zajączek:

Kejt: 1. b) reszta z dzielenia przez x−1 jest równa −1 czyli: W(1)=−1 W(1)=m²−5−3m m²−5−3m=−1 m²−3m−4=0 Δ=9+4*4=25 √Δ=5

	3−5		−2
m1=		=		=−1
	2		2

	3+5		8
m2=		=		=4
	2		2

Kejt: Godziu, 2 zadanie podpunkt a) nie powinno być −2? bo nie wychodzi, że r jest pierwiastkiem..

Kejt: 2. b) dzieliłam dwa razy Hornerem i wyszły mi dwa równania: a+b=1 −2+a=0 a=2 b=−1 d) W(1)=0 n*1ⁿ⁺¹−(n−1)1ⁿ−1=0 n−n+1−1=0 0=0 równanie tożsamościowe, czyli: n∊ℛ

Godzio: Zgadza się, pomyłka w 2. a) powinno być −2x³

Kejt: 3. b) x⁸−15x⁴−16=0 x⁴=t założenie: t>0 Δ==225+16*4=289 √Δ=17

	15−17		−2
t1=		=		=−1 −> nie spełnia założeń
	2		2

	15+17		32
t2=		=		=16
	2		2

x⁴=t x⁴=16 x=2 v x=−2

Kejt: poprawka przy założeniu: t ≥ 0

Godzio: Ok, na razie wszystkie są poprawnie zrobione

Wojteq66: szacun za zadanka, chetnie sobie machne dzięki !

Kejt: 2. a) x⁴−2x³+3x²−4x+2; r=1 dzielę hornerem raz, otrzymuję: x⁴−2x³+3x²−4x+2=(x−1)(x³−x²+2x−2) dzielę drugi raz, otrzymuję: x³−x²+2x−2=(x−1)(x²+2) ostatecznie: x⁴−2x³+3x²−4x+2=(x−1)²(x²+2) tyle wystarczy?

rumpek: Można zrobić 1 a)?

Godzio: Wystarczy rumpek pytaj się Kejt to jej zadania

rumpek: No własnie do kejti to zapytanie poszło

Kejt: Jeśli to ładnie wyjaśnisz tak, żebym zrozumiała to proszę bardzo

rumpek: W(x) = P(x) * Q(x) + R(x) W(x) = (x³ + 8) * Q(x) + 3x² − 5x + 2 <− ten już mamy W(x) = (x + 2) * Q(x) + R(x) <− tego liczymy Jako, że dzielimy przez dwumian to reszta będzie: (r − 1 stopnia) Jakbyśmy dzielili przez trójmian to reszta byłaby: (ax + b − 2 stopnia) Jakbyśmy dzielili przez x³ ... to reszta (ax + bx + c − 3 stopnia) Podstawiamy za W(x): (x³ + 8) * Q(x) + 3x² − 5x + 2 = (x + 2) * Q(x) + R(x) Łatwo zauważyć, że reszta z dzielenia to: W(−2) więc za x wstawiamy −2 (−8 + 8) * Q(x) + 3 * 4 − 5 * (−2) + 2 = (−2 + 2) * Q(x) + r 0 * Q(x) + 12 + 10 + 2 = 0 * Q(x) + r r = 24 Inaczej wytłumaczyć nie umiem A czy wynik się zgadza trzeba spytać mentora

Godzio: Muszę się przyczepić, W(x) = (x³ + 8)Q(x) + 3x² − 5x + 2 W(x) = (x + 2)H(x) + R(x) Q(x) ≠ H(x) dlatego musi być inne oznaczenie, reszta ok Szukamy reszty zdzielenia przez dwumian (x + 2), czyli inaczej szukamy wartości W(−2) Korzystamy z: W(x) = (x³ + 8)Q(x) + 3x² − 5x + 2 W(−2) = (−8 + 8)Q(x) + 3 * 4 − 5 * (−2) + 2 = 24

rumpek: Racja zawsze o tym zapominam Lub mogłoby być Q(x)'

rumpek: Kejti robisz te zadania ? Bo kuszą troszkę Najwyżej jutro w szkole zrobię sobie na przerwach

Kejt: możesz 2. e) zrobić jak Cie kusi

Godzio: Ej no Kejt ! (x² + bx + c)² = ... wymnożyć i przyrównać wspóczynniki

Kejt: o ja głupia.. bx.. a ja tu kombinowałam

rumpek: :( a tak się ucieszyłem

Godzio: Jak jest zadanie: 4. f) to to są myślniki, a nie minusy !

Godzio: rumpek chcesz fajniejsze zadanie ? Powiedz dział, coś znajdę

rumpek: w sumie muszę się mocno podszkolić przed maturką w 2012 z zadania typu: "wykaż, że" dla mnie póki co to droga przez mękę, więc jakbyś mógł coś przygotować z takim fajnym podziałem jak teraz Kejti to byłbym bardzo wdzięczny. Nie trzeba na dzisiaj, bo akurat zaraz wychodzę

Godzio: Wieczorem coś poznajduję, rozumiem tylko "wykaż że" ?

rumpek: tak ale z geometrii (na razie prosiłbym coś na poziomie podstawowym do rozszerzonego zajrzę w maju )

Kejt: o.. to ja też się poczęstuje, jak swoje skończę..

Godzio: Dobra postaram się coś wynaleźć A jeszcze powiedz jakiej geometrii ? Bo mamy analityczną, w przestrzeni i na płaszczyźnie

rumpek: Na płaszczyźnie W sumie nic nie miałem z geometrii jeszcze w liceum ale czas najwyższy podbić swoje umiejętności

Godzio: Dobra do 23 wrzucę paręnaście zadanek jak dobrze pójdzie, ale nie dam gwarancji że wszystkie będą z podstawy

rączszka: Geometria Ja jestem już na studiach, a wykazywania czegokolwiek z planimetrii to i tak nie umiem

Kejt: hmm.. to Ty w moim wieku jesteś rumpek.. dopiero teraz sie zorientowałam

Godzio: No Kejt do roboty, zadanka same się nie zrobią

Kejt: tak proszę pana.. już robię..

rumpek: Kejt 2 klasa ?

Kejt: (x²+bx+c)²=x⁴+4x³+10x²+12x+a x⁴+b²x²+c²+2bx³+bcx+cx²=x⁴+4x³+10x²+12x+a 2bx³+b²x²+cx²+bcx+c²=4x³+10x²+12x+a 2bx³=4x³ b²x²+cx²=10x² bcx=12x c²=a b=2 b²+c=10 2*6*x=12x 36=a 4+c=10 12x=12x c=6 1=1 a=36

Kejt: tak

;): Godzio pytanko mam do Ciebie czy w 2 c) trzeba zrobić W(od magicznej liczby) i to będzie suma? Wystarczy takie zrobienie zadania bo innego pomysłu nie mam

Kejt: powinno wyjść a=−5 i b=1? w 1c )..

Tomek.Noah: w 2 c) z suma wspolczniikow? to wystarczy podstawic magiczna liczebe ktora zostala stworzona jako 2 cyfra na swiecie z przeciwienstwem

Kejt: co do 2c. to kombinowałam z trójkątem Pascala, ale to chyba nie przejdzie..

rumpek: Kejti mi w 2e wyszło a = 9

Kejt: ups.. czyżbym coś zepsuła?

rumpek: (x²+bx+c)² = ((x² + bx) + c)² = (x² + bx)² + 2(x² + bx)c + c² ...

Tomek.Noah: wychodzi −5 i 1

;): Nie Kejt pomyśl troszkę inaczej trójkąt Pascala nie przejdzie Zauważ jedną rzecz w tym zadaniu nie chodzi o wyliczenie potęgi ²⁰⁰⁰ pomyśl troszkę dla tego nie pisałem jaka to magiczna liczba bo to zadania dla Ciebie

rumpek: magiczna liczba to: ένα

Godzio: Kejt 2. e) + 2bcx + 2cx² a = 9 Tak wystarczy W(magicznej liczby)

Kejt: nie chciałam wyliczać tej potęgi.. tak domyśliłam się, że to specjalnie..

;): Okej dziekuje Godzio

Kejt: cholera.. zapomniałam o dwójkach..

Godzio: 1. c) Jest ok

Tomek.Noah: Podpowiem Ci Kejt pierwsza litera alfabetu ... XD

Kejt: nie droczcie się

Godzio: Kejt logicznie myśląc, jak liczysz sumę współczynników wielomianu: W(x) = 5x³ + 4x² + 2x + 1 To wiadomo 5 + 4 + 2 + 1 = 12 −− co tutaj podstawiliśmy za x ?

Kejt: ach dobra, rozumiem.

Kejt: chyba czas iść spać..

Godzio: Za wcześnie jeszcze z 5 zadanek pyknij

Kejt: sam widzisz, że coraz głupsze błędy robię.. w 2c) suma będzie 2?

Godzio: Tak

Kejt: dobra.. znaczy tragicznie nie jest przejrzę jeszcze raz resztę..

Kejt: ostatnie a) k=−4? wolę się upewnić zanim zacznę liczyć resztę..

Godzio: Jest ok

rumpek: 3c a = −12 b = 6 ?

Godzio: ok

Kejt: Dobra.. ktoś może znalazł pierwiastek dla ostatniego b)?

Godzio: 2 sprawdziłaś ?

Kejt: tak.. i mi nie wyszło..

Godzio: −2 * 8 + 4 * 4 + 4 * 2 − 8 = 0 ?

Kejt: ale k wyszło −4 a nie 4 zepsułam?

rumpek: Ostanie b)? Czyli to: −2x³ − 4x² + 4x − 8 = −2x²(x − 2) + 4(x − 2) = (−2x² + 4)(x − 2) = −2(x² − 2)(x − 2) = −2(x−√2)(x + √2)(x − 2)

rumpek: znaczy k = 4 i tam wyzej u mnie −2x³ + 4x² + 4x − 8

Godzio: : o byłem pewien że wpisałaś 4 rumpek −2x³ − 4x² = −2x²(x + 2)

Kejt: to 4 czy −4?

Godzio: 4

rumpek: Godzio poprawiłem się w poście przed twoim

rumpek: i do c) x∊(−∞, 0> U {1}

Kejt: ale jakim cudem 4 ; − ; idę spać..

Kejt: dobra.. widzę.. wstrętne minusy

Godzio: Idź, idź jutro pewnie na 8 do szkoły

Kejt: yhm.. o 6 muszę wstać..w dodatku same humanistyczne przedmioty.. ech..

Kejt: dobranoc

rumpek: Kejti może jeszcze na 3g się skusimy ?

Kejt: |x³ − 1| = x² + x + 1 x³−1=x² + x + 1 v x³−1=−(x²+x+1) x³−x²−x−2=0 v x³+x²+x=0 (x−2)(x²+x+1)=0 v x(x²+x+1)=0 x−2=0 v x²+x+1=0 x=0 v x²+x+1=0 x=2 Δ<0 => x∊∅ Δ<0 => x∊∅ x=2 v x=0

Kejt: |x|+x³=0 |x|=−x³ x=−x³ v x=x³ x+x³=0 v x−x³=0 x(1+x²)=0 v x(1−x²)=0 x=0 v 1+x²=0 v x=0 v (1+x)(1−x)=0 v x²=−1 v x=0 v x=−1 v x=1 <− coś tu chyba nie pasuje.. (|1|+1³≠0) x∉ℛ x=0 v x=−1 v x=1 (?!)

Wojteq66: a w tym przykładzie: |x|+x3=0 to można sobie tak rozpisać ? : 1. Dla x≥0 => x(x²+1)=0 => x=0 2. Dla x<0 => −x(x−1)(x+1) => x=−1 (x=1 i x=0 odrzucam bo nie należy do przedziału)

Kejt: no właśnie nie wiem.. dlatego pytam..

rumpek: 1^o. x≥0 x + x³ = 0 x(x² + 1) = 0 x = 0 2^o x < 0 −x + x³ = 0 x³ − x = 0 x(x² − 1) = 0 x(x − 1)(x + 1) = 0 x = 0 ∉ (−∞, 0) x = −1 x = 1 ∉ (−∞, 0) Pewnie że można To też można tak zrobić: |x³ − 1| = x² + x + 1 Pamiętając o 1^o x³ − 1 ≥ 0 x³ − 1 = x² + x + 1 2^o x³ − 1 < 0 −(x³ − 1) = x² + x + 1

Godzio: Co do |x³ − 1| = x² + x + 1 można rozbić na przypadki bo x² + x + 1 jest zawsze dodatnie jednak w |x| + x³ = 0 już tak zrobić nie można bo nie wiemy kiedy x³ jest dodatni a kiedy ujemny, takie coś trzeba już rozpatrywać w przedziałach |x| = −x³ dla x > 0 −− sprzeczność dla x ≤ 0 −x = −x³ x³ − x = 0 x(x − 1)(x + 1) = 0 x = 0 lub x = 1 lub x = −1 Odp: x = 0 lub x = −1

Grześ: Nie trzebabyło tego przypadkami rozpatrywać, wystarczyło zauważyć, że: |x³−1|=|(x−1)(x²+x+1)|=|x−1|*|x²+x+1|=(x²+x+1)*|x−1|, czyli: (x²+x+1)*|x−1|=x²+x+1 Przerzucamy na jedną stronę i wspólny czynik wyłaczamy: (x²+x+1)(|x−1|−1)=0 Δ<0 |x−1|=1, czyli: x=0 lub x=2

Kejt: 3. a) 1) W(x)=x⁴+3x³−15x²−19x+30 W(1)=0 dzielę Hornerem, wychodzi: W(x)'=x³+4x²−11−30 W(−2)'=0 dzielę Hornerem, wychodzi: W(x)'=(x+2)(x²+2x−15) x²+2x−15=0 ?=4+60=64 √?=8

	−2+8		6
x1=		=		=3
	2		2

	−2−8		−10
x2=		=		=−5
	2		2

W(x)=x⁴+3x³−15x²−19x+30=(x−1)(x+2)(x−3)(x+5) 2) W(x)=2x³−5x²−x+6 W(−1)=0 dzielę Hornerem, wychodzi: W(x)=(x+1)(2x²−7x+6) ?=49−4*2*6=49−48=1

	7−1		6
x1=		=		=1,5
	4		4

	7+1		8
x2=		=		=2
	4		4

W(x)=2x³−5x²−x+6=(x+1)(x−1,5)(x−2)

Grześ: na końcu zgubiłaś tylko współczynnik przy najwyższej potędze, czyli a=2

olka: godzio umiesz cos z chemi ? przygotowano roztwor bromkowy sodu w ten sposob ze na litr g. soli przypadaly 623 mlili gramy wody oblicz stezenie procentowe otrzymanego roztworu

rumpek: Załóż osobny temat a nie Kejti tu śmiecisz https://matematykaszkolna.pl/strona/2326.html

Kejt: właśnie.. jeszcze z błędami piszesz

Kejt: jak ugryźć 1d? to paskudztwo P(x) nie daje się na czynniki liniowe rozłożyć

Godzio: Dlatego dałem, bo nie da się rozłożyć i trzeba coś innego wymyślić

Kejt: wrr.. jakaś podpowiedź? bo chyba nie muszę tego dzielić..

ICSP: Rozłóż ten drugi na czynniki

ICSP: Chociaż nie:( Musisz dzielić labo pomnożyć przez inny trójmian i spróbować przyrównać.

Godzio: W(x) = (x² − 3x + 3)(x² + cx + d)

Kejt: no tak.. tyle to ja też mam

Kejt: dobra.. już wiem.

Kejt: a=1 b=3 c=d=1 tak?

Godzio: a = 2, b = 6

Kejt: kurde.. to ja może to wrzucę..

Godzio: x⁴ + x³c + x²d − 3x³ − 3cx² − 3xd + 3x² + 3cx + 3d = x⁴ + x³(c − 3) + x²(d − 3c + 3) + x(3c − 3d) + 3d c = 1 d = 2

Kejt: już się zgadza.. a=2 b=6 c=1 d=2 całe rozwiązanie wrzucę za chwilę..

Godzio: Dobra jak wyszło to nie trzeba

Kejt: w 2d m∊(−∞;1)∪(9;+∞)?

Kejt: chyba trzeba jeszcze wyliczyć tak, żeby miejsca zerowe były zawsze dodatnie.. tak?

Kejt: ponawiam pytanie..

Godzio: (−3,0) U (0,1) Zgadza się, miejsca zerowe muszą być dodatnie

Kejt: a jak to wyliczyć? bo wzory Viete'a raczej tu nic nie dadzą..

Godzio: x² = t i warunki: Δ > 0 t₁ * t₂ > 0 t₁ + t₂ > 0

Kejt: aa.. więc jednak. zapomniałam..dwie dodane liczby ujemne tworzą ujemną.. idę spać

Godzio:

;): Zrobię sobie jeśli można jedno na dobranoc Dany jest wielomian W(x) = −2x³ + kx² + 4x − 8, x ∊ R a) Wyznacz wartość k tak, aby reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian (x + 1) była równa −6 b) Dla znalezione wartości k rozłóż wielomian na czynniki liniowe c) Rozwiąż nierówność W(x + 1) ≤ −3x³ + 5x − 2 a) W(−1) = −6 ⇒ 2 + k − 4 − 8 = −6 k = 4 b) W(x) = −2x³ + 4x² + 4x − 8 = −2x²(x − 2) + 4(x − 2) = −2(x − √2)(x + √2)(x − 2) c) W(x + 1) = −2(x + 1)³ + 4(x + 1)² + 4(x + 1) − 8 = −2x³ − 6x² − 6x − 2 + 4x² + 8x + 4 + 4x + 4 − 8 = −2x³ − 2x² + 6x − 2 −2x³ − 2x² + 6x − 2 < −3x³ + 5x − 2 x³ − 2x² + x < 0 x(x² − 2x + 1) < 0 x(x − 1)² < 0 ⇒ x∊(−∞,0)

rumpek: Chyba o czymś zapomniałeś "≤"

Kejt: już po sprawdzianie, zrobiłam wszystko i jeszcze zdążyłam sprawdzić kilka razy, więc pewnie 6 wpadnie

Godzio: Oby A kiedy masz ten test ?

Kejt: no był, dzisiaj

Godzio: Aaaa No to git, a jakie zadanka miałaś ?

Kejt: dwa z rozkładu na czynniki. jedno takie jak 1d tylko, że dało się to P(x) rozłożyć. jedno takie jak 2e tylko typu "wykaż, że" i jedno brzmiące mniej więcej tak: "Oblicz p i q wiedząc, że m jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu" i pod spodem był podany wielomian i m=3 Mogę te zadanka wrzucić za tydzień.. tzn. jak dostanę swój sprawdzian

Godzio: To jak chcesz, w każdym razie chętnie zobaczę

Alexa : a czy ktoś rozwiązał 1 d) ?

;): d) Dla jakich wartości parametrów a i b wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian P(x) gdy: W(x) = x⁴ − 2x³ + ax² − 3x + b, P(x) = x² − 3x + 3 x² + x + 2 _________________ x⁴ − 2x³ + ax² − 3x + b : x² − 3x + 3 −x⁴ + 3x³ − 3x² −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− x³ + (a − 3)x² − 3x −x³ + 3x² − 3x −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ax² − 6x + b −2x² + 6x −6 a − 2 = 0 b − 6 = 0 a = 2 b = 6

WUT: ALE PROSTE GÓWNA. Za dużo tego, ale moge jedno rozwiązać, tylko napisz które.

Alexa : a no taaaak, dzieki