Twierdzenie sinusów.
Sylwia: Wykaż, że jeśli w trójkącie sin2α = sin2β + sin2(α+β), to trójkąt ten jest prostokątny.
16 kwi 16:17
Sylwia: Pomóżcie...
16 kwi 17:11
Godzio:
Z tw. sinusów:
| a | | b | | c | |
| = |
| = |
| = 2R |
| sinα | | sinβ | | sin(180 − (α + β) | |
| a2 | | b2 | | c2 | |
| + |
| + |
| / * 4R2 |
| 4R2 | | 4R2 | | 4R2 | |
a
2 + b
2 = c
2 co kończy dowód
16 kwi 17:14
Sylwia: nie czaje dwoch ostatnich linijek. Dlaczego tam są plusy?
16 kwi 17:53
Godzio:
| | c2 | |
Miało być oczywiście = |
| , podstawiłem do Twojego początkowego równania |
| | 4R2 | |
16 kwi 17:54
Sylwia: a nie wyjdzie ze a
2 − b
2 = c
2 
16 kwi 17:57
Godzio:
Namieszałem ... wyjdzie
a
2 = b
2 + c
2
b,c − przyprostokątne a − przeciwprostokątna,
a
2 = b
2 + c
2
16 kwi 17:58
Sylwia: no tak.... Dziękuje bardzo
16 kwi 18:00
AS: Dopiero teraz natknąłem się na to ciekawe zadanie a jeszcze bardziej
bardzo ładne rozwiązanie podane przez Godzio.
Dołączę swoją wersję rozwiązania
sin
2α = sin
2β + sin
2(α + β)
sin
2α − sin
2β = sin
2(α + β)
(sinα + sinβ)*(sinα − sinβ) = sin
2(α + β)
| | α + β | | α − β | | α − β | | α + β | |
2*sin |
| cos |
| *2*sin |
| cos |
| = sin2(α + β) |
| | 2 | | 2 | | 2 | | 2 | |
sin(α + β)*sin(α − β) = sin
2(α + β)
sin(α + β)*sin(α − β) − sin
2(α + β) = 0
sin(α + β)*[sin(α − β) − sin(α + β)] = 0
| | α − β − α − β | | α − β + α + β | |
sin(α + β)*2*sin |
| *cos |
| = 0 |
| | 2 | | 2 | |
2*sin(α + β)*sin(−β)*cos(α) = 0
Tylko cosα = 0 może spełniać równanie i warunek postawiony w zadaniu.
Zachodzi to dla α = 90
o , co świadczy że jest to trójkąt prostokątny.
17 kwi 11:43