udowodnij
Anka: Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 9.
a3+(a+1)3+(a+2)3 tyle mam
Jakieś pomysły co dalej?
12 kwi 20:25
bart: może tak:
(a−1)
3+a
3+(a+1)
3=a
3−3a
2+3a−1+a
3+a
3+3a
2+3a+1=3a
2+6a=teraz mały trick
=3a
2−3a+9a=
3a(a
2−1)+9a=3(a−1)a(a+1)+9a
(a−1)a(a+1) sa to 3 kolejne liczby wiec na pewno dzielą się przez 3. Pomnożone przez 3 dzielą
sie więc przez 9
9a− wiadomo
12 kwi 20:41
magda: ja mam pomysł tylko na to by była podzielona przez 3
a3+a3+3a2+3a+1+a3+6a2+12a+8=3a3+9a2+15a+9=3(a3+3a2+5a+3)
12 kwi 20:42
ICSP: bart gdzie ci się a
3 skróciło
12 kwi 20:42
bart: 3a
3 ma być
12 kwi 20:43
bart: czemu tu nie ma opcji "edytuj" wrrr! mam nadzieję Ania, że zauważysz i poprawisz
12 kwi 20:44
Eta:
Proponuję wprowadzić takie ( łatwiejsze ) oznaczenia tych liczb
n−1, n, n+1 −−− kolejne liczby naturalne
(n−1)
3+n
3+(n+1)
3 = n
3−3n
2+3n−1+n
3+n
3+3n
2+3n+1= 3n
3+6n
3n
3+6n= 3n(n
2+2) = 3n(n
2 −1+3) = 3n[(n−1)(n+1)+3]=
= 3n*(n−1)(n+1)+
9n
drugi składnik jest podzielny przez
9
pierwszy składnik jest iloczynem trzech kolejnych liczb naturalnych
n−1, n,n+1, −−− wśród nich jest dokładnie jedna podzielna przez
3
to iloczyn
3*(n−1)*n*(n+1) jest podzielny przez
9
co kończy dowód bo obydwa składniki są podzielne przez
9
zatem cała liczba jest podzielna przez
9
12 kwi 20:45
bart:
12 kwi 20:46
Eta:
12 kwi 20:46
Vizer: Eta jeśli mogę zapytać, jesteś po maturze czy przed?
12 kwi 20:47
bart: xD
12 kwi 20:49
ICSP: bart a ty jesteś z województwa lubelskiego czy innego
12 kwi 20:50
bart: WLKP
12 kwi 20:51
12 kwi 20:52
bart: no Eta po maturce jest
ja mam yyy.. za kilka tygodni
12 kwi 20:52
Vizer: to tak jak ja, tez mam w tym roku maturę
12 kwi 20:53
ICSP: za trzy chyba dokładnie
Muszę złapać Triviala na forum może on będzie miał gadu
Eta
niestety nie posiada:(
12 kwi 20:53