Ciągi liczbowe - Techniku Czila: 1. Zbadaj czy ciąg jest arytmetyczny a_n = −3n + 8 2. Wyznacz ogólny wyraz ciągu 2,7,12,17… 3. Wyznacz a₁ i r, jeżeli : a₅ = −5 , a₃ + a₈ = −12 4. Zbadaj czy ciąg geometryczny a_n = 10n 5. Wyznacz 4 początkowe wyrazu ciągu, jeżeli a₃ = 9 q = 3 6. Wyznacz a₁ i q, jeżeli a₃ = 16 i a₅ = 256 Potrzebuje rozwiązać te zadania. Tak żebym mógł to zrozumieć

jarolcia: 1. a_n+1= −3(n+1)+8= =3n−3+8=−3n+5 a_n+1− a_n= −3n +5 − (−3n+8)= −3 Ciąg jest aryt. bo wyszła liczba. 2. jest to ciąg arytm. więc r=7−2=5 a_n= a₁ + (n−1)r = 2+ (n−1)5= 5n −3

jarolcia: 3. a₅= a₁+ 4r a₃ + a₈= a₁ + 2r + a₁ +7r= 2*a₁ + 9r a₁+ 4r=−5 2*a₁ + 9r =−12 układ równań i wyliczasz a₁ i r

jarolcia: 5. a₃= a₁*q² 9=a₁*9 czyli a₁=1 a₂= 3 a₃=9 a₄=27

jarolcia: 6. a₃=a₁*q² a₅= a₁*q⁴ i układ równań

Gustlik: Jarolcia, kombinujesz z Warszawy do Łodzi przez Alaskę. NIE POTRZEBA UKŁADÓW RÓWNAŃ. ad 3) a₅ = −5 , a₃ + a₈ = −12 a₃=a₅−2r ("cofamy" z a₅ do a₃, a więc o 2r do tyłu, dlatego odejmujemy 2r) a₈=a₅+3r (od a₅ trzeba "podjechać" do przodu do a₈ o 3r) czyli a₃=−5−2r a₈=−5+3r i to podstawiamy do drugiego równania. −5−2r−5+3r=−12 r−10=−12 r=−2 Teraz obliczamy a₁ a₁=a₅−4r (bo od a₄ trzeba się "cofnąć" o 4r do a₁) a₁=−5−4*(−2) a₁=−5+8 a₁=3 Odp: a₁=3, r=−2

Gustlik: ad 6) − TEŻ BEZ UKŁADU RÓWNAŃ Wyznacz a₁ i q, jeżeli a₃ = 16 i a₅ = 256

a5
	=q2 (dzielimy wyraz o wyższym numerze przez niższy, odejmujemy numery i wychodzi
a3

potęga q, 5−3=2 dlatego q²)

256
	=q2
16

16=q² /√ q=4 lub q=−4

	a3
a1=		(dzielimy przez q2, bo "cofamy się" z a3 do a1, a więc o 2 wyrazy do tyłu)
	q2

	16
a1=		=1
	16

Odp. Mamy więc 2 ciągi: a₁=1, q=4 i a₁=1, q=−4.

Gustlik: ad 1) Sprawdzenie: widać wyraźnie, że ciąg a_n = −3n + 8 to zwykła funkcja liniowa y=−3x+8 o dziedzinie N₊. Różnica jest zawsze równa współczynnikowi kierunkowemu prostej r=a, czyli r=−3. Każdy ciąg, który można opisać wzorem funkcji liniowej, czyli wzorem a_n=an+b jest ciągiem arytmetycznym, a różnica r=a. Ze wzoru takiego można też łatwo odczytać monotoniczność ciągu − robi się to tak samo, jak monotoniczność funkcji liniowej, czyli a>0 (a więc r>0) to ciąg rosnący, a<0 (r<0) − ciąg malejący. U nas r=a=−3, zatem ten ciąg jest i arytmetyczny i malejący. Wyjaśnienie tej metody tutaj: https://matematykaszkolna.pl/forum/forum.py?komentarzdo=271 .