Wyznacz długość najkrótszego odcinka... Anula: Wyznacz długość najkrótszego odcinka, którego końce należą do prostych skośnych wyznaczonych przez przekątne sąsiednich ścian sześcianu o krawędzi długości 1. a) √2 d) √3 / 2 g) √5 / 2 j) żadna odpowiedź z powyższych b) √3 e) √3 / 3 h) p {5} /3 c) √2 / 3 f) 2√3 / 3 i) 3/2

Anula: Dany jest zbiór S={1, 2, 3, …, n}. Ze zbioru wszystkich podzbiorów wybieramy losowo ze zwracaniem dwa zbiory. Jakie jest prawdopodobieństwo, że oba wylosowane zbiory są rozłączne?

Basia: 1. wg mnie j) bo widzę odcinki o długości 1 ABCDEFGH sześcian AC i DG są skośne CD = 1 i CG = 1 ale niech ktoś to potwierdzi nad 2 muszę dłużej pomyśleć, może wieczorem bo teraz muszę kończyć

Bogdan: Dzień dobry. To są zadania z ostatniej serii zadań konkursowych umieszczonych na stronie www.matmix.pl. Mała poprawka dla zadania 1, odpowiedź c jest inna i wynosi √2/2 ad 1. Najkrótszy odcinek łączący dwie proste skośne leży w płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzn zawierających te proste skośne. Wyobraźmy sobie sześcian ABCDA'B'C'D', do naszych rozważań weźmy tylko dwie ściany tego sześcianu. Ze względu na przejrzystość weźmy dolną poziomą ścianę ABCD i tylną pionową ścianę DCC'D'. Wprowadzamy dodatkowo punkty: E - środek AB, F - środek CD, G - środek C'D', H - środek A'B', K - punkt przecięcia przekątnych AC i BD, M - punkt przecięcia przekątnych CD' i DC'. Rysujemy na tych ścianach proste zawierające punkty: (B i D) oraz punkty (C i D'), są to proste skośne. Wyobrażamy sobie płaszczyzny prostopadłe do tych dwóch ścian, są to m.in. ściany: BCC'B', tutaj najkrótsza odległość między skośnymi jest równa |BC| = 1, ADD'A', tutaj najkrótsza odległość między skośnymi jest równa |DD'| = 1. EFGH, tutaj nakkrótsza odległość między skośnymi jest równa |KM| = √2/2. Odp. Poprawna jest odpowiedź c), czyli √2/2. Za chwilę podam rozwiązanie zadania 2.

Bogdan: Liczba wszystkich podzbiorów zbioru n-elementowego jest równa 2ⁿ, wliczając zbiór pusty i zbiór pełny. Tworzymy ciągi 2-elementowe złożone z dwóch (rozłącznych i nierozłącznych) podzbiorów zbioru S. Mamy tutaj do czynienia z wariacją z powtórzeniami, takich ciągów jest (2ⁿ)² = 4ⁿ. |Ω| = 4ⁿ. Musimy pamiętać, że zbiór pusty jest rozłączny z każdym zbiorem, także ze zbiorem pustym. Obliczamy teraz liczbę wszystkich par zawierających podzbiory rozłączne. Pierwszy zbiór par zawiera podzbiór pusty (można go wybrać na n po 0 sposobów) i jeden z pozostałych 2ⁿ podzbiorów. Ten zbiór par ma moc C_n⁰ * 2ⁿ. Drugi zbiór par zawiera podzbiór jednoelementowy zbioru S (można go wybrać na n po 1 sposobów) i jeden z pozostałych 2^{n - 1} podzbiorów, wśród których nie ma tego jednoelementowego podzbioru. Ten zbiór par ma moc C_n¹ * 2^{n - 1}. Trzeci zbiór par zawiera podzbiór dwuelementowy zbioru S (można go wybrać na n po 2 sposobów) i jeden z pozostałych 2^{n - 2} podzbiorów, wśród których nie ma tego dwuelementowego podzbioru. Ten zbiór par ma moc C_n² * 2^{n - 2}. itd. Łączna liczba podzbiorów rozłącznych jest równa: C_n⁰*2ⁿ + C_n¹*2^{n - 1} + C_n²*2^{n - 2} + ... + C_nⁿ*2^{n - n} = (2 + 1)ⁿ = 3ⁿ Widzimy tu dwumian Newtona (2 + 1)ⁿ. Odp. Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch zbiorów rozłącznych = 3ⁿ/4ⁿ = (3/4)ⁿ.

Bogdan: Anulo, czy rozumiesz te rozwiązania?

Eta: