POMOCY jokero: 1. znajdź wszystkie pary liczb naturalnych spełniających równanie x² - y² = 18 2. wykaż, że jeśli dwie liczby naturalne przy dzieleniu przez 5 mają równe reszty, to różnica kwadratów tych liczb jest podzielna przez 5. 3. wykaż, że kwadrat każdej liczby naturalnej n jest podzielny przez 9 lub reszta z dzielenia kwadratu tej liczby przez 3 wynosi 1.

Basia: rozwiązuję

Basia: x² - y² = (x-y)(x+y) ponieważ x,y∈N ⇒ x+y∈N i x-y∈C czyli x+y musi być naturalnym dzielnikiem 18 czyli x+y = 1 i x-y =18 2x = 19 x=19/2 a to nie jest liczba naturalna x+y = 2 i x-y =9 2x = 11 x = 11/2 a to nie jest liczba naturalna x+y = 3 i x-y =6 2x = 9 x=9/2 a to nie jest liczba naturalna x+y = 6 i x-y =3 2x = 9 i j.w. x+y = 9 i x-y =2 2x = 11 i j.w. x+y =18 i x-y =1 2x = 19 i j.w. wg mnie nie ma takiej pary liczb naturalnych 2. n= 5k + r m = 5l +r k,l,r ∈ C n² - m² = (5k+r)² - (5l+r)² = 25k² + 10kr + r² - (25l² + 10lr +r²) = 25k² + 10kr + r² - 25l² - 10lr - r² = 5(5k² + 2kr - 5l² - 2lr) k,l,r ∈ C ⇒ (5k² + 2kr - 5l² - 2lr) ∈ C czyli n² - m² jest podzielna przez 5 3. każdą liczbę naturalną można zapisać tak: n = 3k lub n=3k+1 lub n = 3k+2 dla n=3k mamy n² = 9k² podzielna przez 9 dla n=3k+1 mamy n² = 9k² + 6k + 1 = 3(3k²+2k) +1 czyli reszta z dzielenia przez 3 wynosi 1 dla n=3k+2 mamy n² = 9k² + 12n +4 = 9k² + 12n + 3 +1 = 3(3k²+4n+1) + 1 czyli reszta z dzielenia przez 3 wynosi 1