ciągłość funkcji ewa: Dla jakiej wartości parametru a funkcja

	x−2
f(x)=		dla x≠2
	x−2

a dla x=2 jest ciągła?

Jack: zbadaj granice obustronne w x=2 (widać, że to będzie 1).

ewa: a dałbyś radę wyjaśnic mi to tak krok po kroku? bardzo proszę

Jack:

	x−2
Po pierwsze		=1, dla x≠2.
	x−2

Widać, więc, że a=1 dla x=2

	x−2		x−2
Inna metoda, to policzyć granicę limx→2+		oraz limx→2−		. Muszą
	x−2		x−2

być równe. Ponadto wartość f(2) musi być im równa.

ewa: ok dziekuję bardzo trochę mi się rozjaśniło

ewa: a mam jeszcze pytanie odnośnie innego przykładu: polecenie też sprawdzić ciągłość funkcji

	⎧	x−1 dla x∊ ( −∞ ; 1)
f(x)=	⎨	x2−1 dla x∊<1,2π)
	⎩	sin x dla x∊<2π;+∞)

więc muszę policzyć granicę w punktach 1 i 2π, nie? bo pierwsza funkcja x−1 jest liniowa więc jest ciągła a teraz w tych dwóch punktach muszę zbadać granicę lewo i prawo stronnie: lim_x→1⁻ (x−1) czyli granica wynosi 0 lim_x→1⁺(x²−1) i tu też granica jest 0 a f(1)= 1²−1=0 czyli w tym punkcie funkcja jest ciągła a drugim punkcie: lim_x→2π⁻ (x²−1)= lim_x→2π⁺ (sin x)= jak tu to zrobić? narysować i z wykresu?

ewa: ponawiam

Jack: każda z tych funkcji w swoich dziedzinach jest ciągła. Problemem są przejścia z jednej funkcji do drugiej. Zbadaj kresy przedziałów, czyli granice obustronne. W tym ostatnim rachunku podstaw wartość graniczną do funkcji i policz. Jeśli wyjdą różne liczby, to funkcja f(x) nie jest tu ciągła.

ewa: ale idę w dobrym kierunku czy raczej nie bardzo?

Jack: w dobrym Liczysz w tych podejrzanych punktach granice obustronne i sprawdzasz czy są sobie równe

ewa: a jak wyjść z tego co nie umiałam? ten drugi punkt 2π

ewa: chodzi mi o to w jaki sposób to obliczyc, czy rysowac wykres czy jak?

Jack: obliczyć ile to jest sin(2π)=? i czy jest równe (2π)²−1?

ewa: jestem lewa z trygonometrii ale chyba nie jest to równe, nie? bo sin 2π to 0 a to drugie to chyba nie 0..

Jack: nawet na pewno A więc lim_x→2π⁻ f(x)≠lim_x→2π⁺ f(x)

ewa: dziękuję Ci bardzo za pomoc

Jack: bardzo proszę