Wykaż, że... Ja: Męczyłem się długo nad tym zadaniem i na nic konkretnego nie wpadłem. Zrezygnowany zgłaszam się do ludzi mądrzejszych (czyli do Was). Oto i one: Wykaż, że jeżeli a, b, c są długościami boków trójkąta 2p −obwodem, to: ¹_p−a + ¹_p−b + ¹_p−c ≥ 2( ¹_a + ¹_b + ¹_c) Jakieś pomysły?

Adam: Skąd Ty wziąłeś to zadanie!?!

Eta: witam Wykorzystamy zależność między średnimi , arytmetyczną i harmoniczną śr. arytm. ≥ śr. harmoniczna

x+y		2xy
	≥
2		x+y

lewą stronę zapisuję trzykrotnie tak:

	1p−a+1p−b		1p−a+1p−c		1p−b+1p−c
L=		+		+		≥
	2		2		2

	2		2		2
≥		+		+		=
	p−a+p−b		p−a+p−c		p−b+p−c

	2		2		2
=		+		+		=
	2p−a−b		2p−a−c		2p−b−c

	2		2		2
=		+		+		=
	a+b+c−a−b		a+b+c−a−c		a+b+c−b−c

2

2

2

1

1

1

=

+

+

= 2(

+

+

)

c

b

a

a

b

c

zatem L≥ P c.n.u Dobranoc

Eta: Dla jasności podaję jedną część zależności między średnią arytm. i harmoniczną: dla danego przykładu ( z pierwszego wiersza po L

1p−a+1p−b		2*1p−a*1p−b
	≥		=
2		1p−a+1p−b

	2		(p−a)(p−b)		2
=		*		=
	(p−a)(p−b)		p−a+p−b		p−a+p−b

teraz już powinno być jasne

b.: ładne rozwiązanie drobna uwaga dla 'Ja':

	2		2xy
średnią harmoniczną może byc lepiej pisac tak:		(=		), wtedy
	1   1   + x   y		x+y

lepiej widać, jak to się uogólnia na większa liczbę elementów

Ja: Jesteście świetni DZIĘKUJĘ!