obliczyc inną prawidłowość
Mimi: proszę o pomoc
owolny trapez i przecinające się przekątne w punkcie S.Udowodnij że
długość odcinka równoległego do podstaw i przechodzącego przez punkt przecięcia się
przekątnych - nie zależy od wysokości trapezu odcinka łączącego pozostałe boki i jaka
jeszcze inna wynika stąd prawidłowość.
Bogdan:
AB - podstawa dolna trapezu, |AB| = a
CD - podstawa górna, |CD| = b
EF - odcinek rownoległy do podstaw i przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych,
E - punkt na ramieniu AD
F - punkt na ramieniu BC
S - punkt przecięcia przekątnych,
h - wysokość trapezu,
h
1 - wysokość trójkąta ABS,
h
2 - wysokość trójkąta CDS,
h
1 + h
2 = h
Z podobieństwa trójkątów: ABD i ESD: a / |ES| = h / h
2,
Z podobieństwa trójkątów: ABC i FSD: a / |FS| = h / h
2,
stąd |ES| = |FS| oraz stąd h
2 = |ES| * h / a.
Z podobieństwa trójkątów CDA i SEA: b / |ES| = h / h
1,
stąd h
1 = |ES| * h / b
h
1 + h
2 = h → |ES| * h / b + |ES| * h / a = h → |ES| / b + |ES| / a = 1
|ES| = ab / (a + b) i |ES| = (1/2) * |EF|
|EF| = 2 * |ES| więc ostatecznie |EF| = 2ab / (a + b)
Wnioski:
1. Długość odcinka EF nie zależy od h.
2. Długość EF jest średnią harmoniczną długości podstaw trapezu.
3. Punkt przecięcia przekątnych S jest środkiem odcinka EF.
Mam nadzieję, że o to chodziło
Bogdan:
Przy okazji tego zadania podam ciekawostkę:
P
1 - pole trójkąta ABS,
P
2 - pole trójkąta CDS
P
3 - pole trójkąta ASD oraz pole trójkąta BSC (te pola są sobie równe,
co jest wnioskiem nr 4).
P - pole trapezu ABCD.
P
3 =
√P1*P2 iloczyn P
1P
2 jest pod pierwiastkiem
P = (
√P1 +
√P2)
2
