Ekstremum warunkowe MarQ: Hej Jak obliczyć ekstremum warunkowe funkcji f(x,y) = 5 − 2x² − 2y² dla warunku x+y=8 Wielkie dzięki za pomoc

Komentator OWMH: Rozwiązanie: Dana funkcja f(x , y) = 5 − 2 x²− 2 y² korzystając z mnożników Lagrange'a warunek ograniczający : g(x,y) = 0 ; mamy warunek x + y= 8 ⇒ g(x , y)= x+y−8 budujemy funkcja Lagrange'a L(x , y , λ)= f (x , y) + λ . g( x, y) dla nas L(x , y , λ)= 5 − 2 x²− 2 y² + λ .( x + y − 8) obliczając jej pochodne, otrzymujemy dalej piszemy L zamiast L(x , y, λ) L'_x = − 4x+λ ; L'_y = − 4y+λ ; L'_λ = x+y−8 punkty podejrzane o ekstremum wyznaczamy rozwiązując układu równań i) L'_x = 0 i) − 4x+λ = 0 i) x = λ/4 ii) L'_y = 0 ⇔ ii) − 4y+λ = 0 ⇔ ii) y = λ/4 ⇔ i) oraz ii) w iii) iii) L'_λ = 0 iii) x+y−8 = 0 iii) x+y−8=0 i) x = λ/4 i) x = 4 ⇔ ii) y = λ/4 ⇔ ii) y = 4 iii) λ = 16 iii) λ = 16 a więc punktem podejrzanym o ekstremum jest więc punktem x_o = (4 , 4) jest on punktem regularnym ponieważ r z g'(4,4)= r z[4;4] =1 obliczając pochodne drugiego rzędu względem zmiennych x , y otrzymujemy: L"_xx = −4 L"_{x y} = 0 L"_{y y} = −4 L"_{y x} = 0 [ −4 0 ] a więc macierz L” _x (x , y) = macierz [ 0 −4 ] [ −4 0 ] Oraz macierz L” _x (4,4) = macierz [ 0 −4 ] musimy określić czy ta macierz jest określona dodatnio czy ujemnie określona; należy zbadać formę kwadratową: [ h₁] uwaga wektor h = [ h₂] ; [ −4 0 ] h^T L” {x} (x₀ , λ) h = h^T [ 0 −4] h = [−4h₁ −4h₂] [ h₂] h^T L” {x} (x₀ , λ) h m = −4 ( (h₁)² + (h₂)²) ( widać że jest ujemna dla h ≠ 0) możemy sprawdzić że na podprzestrzeni X( (4,4) = { h ∊ R² : [4,4] h =0 } [ h₁] zauważmy że [4,4] [ h₂] = 0 ⇔ h₁ = − h₂ stąd oraz h^T L” {x} (x₀ , λ) h = −4 ( (h₁)² + (h₂)²) mamy że ta forma jest ujemna określona dla h ≠ 0. A więc funkcja f (x, y) = 5 − 2 x²− 2 y² ma maksimum związanym (warunkowym) w punkcie (4 , 4) i wynosi f (4 , 4 ) = − 61 BADANIE CZY FUNKCJA MA EKSTREMA W PUNKCIE P₀ = (X₀, Y₀ ) TO W MACIERZY [ A₁₁ A₁₂ ] L” _x (X₀, Y₀ ) = macierz [ A₂₁ A₂₂ ] i) Jeśli A₁₁ < 0 oraz det L” _x (X₀, Y₀ ) >0 ; to forma kwadratowa h^T L” {x} (x₀ , λ) h jest ujemna określona; przeto w punkcie P₀ funkcja ma maksimum . ii) Jeśli A₁₁ > 0 oraz det L” _x (X₀, Y₀ ) >0 ; to forma kwadratowa h^T L” {x} (x₀ , λ) h jest dodatnio określona; przeto w punkcie P₀ funkcja ma minimum . dla naszej przypadku mamy i) A₁₁ = −4 <O i [ A₁₁ A₁₂ ] ii) dla L” _x (X₀, Y₀ ) = macierz [ A₂₁ A₂₂ ] mamy że : [ A₁₁ A₁₂ ] [ −4 0 ] det [ A₂₁ A₂₂ ] = det [ 0 −4 ] = 16 >0 a więc jak wyżej otrzymano ma maksimum warunkowym w punkcie ( 4 , 4 ) sorry dużo czasu zajmuje pisanie tutaj, nie jest zbyt wygodny napisanie te macierzy.