... gabi: ..:: PROSZĘ O WSKAZÓWKI ::.. Udowodnij, że jeżeli czworokąt jest wpisany w okrąg, to iloczyn przekątnych jest równy sumie iloczynów przeciwległych boków.

gabi: ...

gabi: ...

gabi: ..

gabi:

gabi: up

gabi: up

gabi: up

andre: Weźmy dowolny czworokąt ABCD wpisany w okrąg. Mamy pokazać, że zachodzi zależność: AC × BD = AB × CD + BC × AD Z wierzchołka B wyprowadźmy prostą BE tak, aby kąty ABD i EBC były równe (punkt E oznaczamy na przecięciu prostej z przekątną AC). W wyniku tego otrzymamy trójkąty ABD i EBC. Można zaobserwować, że kąty ABD = EBC (z konstrukcji) oraz kąty ADB = ECB, jako kąty wpisane oparte na tym samym łuku. Zatem trójkąty ABD i EBC są podobne. Tak więc: EC : AD = BC : BD, z czego wynika, że: EC × BD = AD × BC. Widać, że trójkąty ABE i DBC, mające równe kąty ABE i DBC oraz kąty BAC i BDC (kąty wpisane oparte na tym samym łuku) są do siebie podobne. Tak więc odpowiednie boki są proporcjonalne: AE : DC = AB : BD, czyli AE × BD = AB × DC. Gdy dodamy równości EC × BD = AD × BC i AE × BD = AB × DC, otrzymamyAE × BD + EC × BD = AB × DC + AD × BC, co w konsekwencji daje (AE + EC) × BD = AB × DC + AD × BC i ostatecznie AC × BD = AB × DC + AD × BC, co było do pokazania.

ownak: ale jaja nie widziałem że jest taka własność

gabi: dziękuję

andre: prosze bardzo

gabi: mam tylko pytanie bo nie bardzo rozumiem jak mam poprowadzić prostą ?

gabi: ?

gabi: może mi ktoś wytłumaczyć dlaczego kąty ABE i DBC są równe?