równania wielomianowe paulik: Rozwiąż równanie : a)x ³ + 3x + 4 =0 b)x ⁶ − 26x ³ − 27=0 c)x ³ +4x ² − 2x −8 =0 d)2x ⁵ +3x ⁴ −2x − 3 =0 e)(2x−1)(x ² −1)=6(x +1) f)6x ³ −13 x ² =2−9x Proszę o rozwiązania lub/i wytłumaczenia jak się takie równania rozwiązuje bo kompletnie nie wiem jak się do tego zabrać.

K. OWMH: ZAD 1.− LEWA STRONA JEST WIELOMIAN O WSPÓŁCZYNNIKÓW CAŁKOWITYCH A WIĘC JEST TW. DOTYCZACE O PIERWIASTKACH TEGO WIELOMIANU; MOŻEMY ICH ZNALEŻĆ WŚRÓD DZIELNIKÓW LICZBY 4 JEŚLI PATRZYMY NA ZAPIS TEJ LEWEJ STRONY MUSIMY WYBIERAĆ TAKI DZIELNIK; ABY BYŁ UJEMNY NP. −1 JAK PODSTAWIAMY W TYM RÓWNANIU TO MAMY ŻE (−1)³ +3.(−1) + 4 =0; A WIĘC X−(−)1 TZN X+1 DIELI x³ +3.x + 4 STĄD: x³+3x+4 = ( x+1) P(x) ...........(1) mamy trzy sposoby znalezienia P(x) i) dzieląc wielomian x³+3x+4 przez ( x+1) ii) z teorii dzielenia wielomianów wiemy że P(x) jest wielomian drugiego stopnia zakładamy że ma postać ax²+bx+c stawiając w równaniu (1) mamy x³+3x+4 = ( x+1) (ax²+bx+c) równość wielomianowe mnożąc wyrażenie w prawej strony mamy x³+3x+4 = ax³+(a+b).x²+(b+c)x +c równość wielomianowe stąd mamy porównując wielomiany 1.− a=1 1.− a=1 ⇔ układ ró−nań 2.− a+b = 0 ⇔ układ ró−nań 2.− b = −1 3.− b+ c = 3 3.− c = 4 4.− c = 4 stąd x³+3x+4 = ( x+1) (x² − x+ 4) iii) metoda Hornera 1 0 3 4 | −1 | ↓ −1 1 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 1 −1 4 | 0 ← reszta przy dzieleniu a więc P(x) = x² − x + 4 dalej mamy że nasze równania początkowe wygląda: (x+1) (x² −x +4) = 0 ⇔(x+1) =0 lub x² −x +4=0 ⇔ x=−1 lub równanie x² −x +4=0 ma Δ<0 ⇔ x ∊{ −1} lub x∊Φ ⇔ x ∊{ −1} nie ma rozwiązanie odp. mamy że x wynosi −1

K. OWMH: zad. najpierw zamiana zmienny aby obniżyć stopnia równania y = x³ stąd 1. y = x³ x⁶ −26 x³− 27 =0 ⇔ układ 2.− y² −26y− 27=0 zadania c i d trzeba zgrupować wyrazy aby mieć w postaci iloczynowy lewej strony i już z tego jest już koniec zadania. porównać każdy czynnik do zera . bo pamiętaj A . B .C . D = 0 ⇔ A =0 lub B= 0 lub C=0 lub D = 0 dalej wiadomo co trzeba robić; jak nie napisz; bo teraz muszę leci na zajęciach; będę po 21 .

paulik: możesz napisać później jak nie masz teraz czasu pozdrawiam.

Komentator OWMH: zad b).− 1.− y =x³ Zad .− b) x⁶ −26x−27 =0 układ r−nań 2.− y² −26 y −27 = 0 1.− y =x³ x⁶ −26x−27 =0 ⇔ układ r−nań 2.− ( y −27) ( y +1) = 0 1.− y =x³ x⁶ −26x−27 =0 ⇔układ r−nań 2.− ( y −27)= 0 lub ( y +1) = 0 1.− y =x³ 1.− y =x³ x⁶ −26x−27 =0 ⇔układ r−nań lub 2.− ( y −27) =0 2.− ( y +1) = 0 x⁶ −26x−27 =0 ⇔ x³ −27 =0 lub x³ +1 = 0 stosujemy A³+B³ = (A+B) (A²−AB+B²) ; A³−B³ = (A−B) (A²+AB+B²) x⁶ −26x−27 =0 ⇔ (x−3)(x²+3x+9) =0 lub ( x +1)(x²−x+1) =0 x⁶ −26x−27 =0 ⇔ (x−3)(x²+3x+9) =0 lub ( x +1)(x²−x+1) =0 x⁶ −26x−27 =0 ⇔ x−3=0 lub x²+3x+9=0 lub x +1=0 lub x²−x+1 =0 ⇔ x−3=0 lub x²+3x+9=0 ;ma △< 0 lub x +1=0 lub x²−x+1=0; ma △< 0 ⇔x = 3 lub x∊Φ lub x = −1 lub x∊Φ ⇔x∊{−1; 3} odp. rozwiązania są −1 ; 3

Komentator OWMH: zad c).− x³ +4x² − 2x −8 =0 ⇔x² (x+4) −2 (x+4)=0⇔(x+4)(x²−2) =0 ⇔ zastosujemy A²−B² = (A+B) (A−B); stąd ⇔(x+4) (x+√2)(x−√2)=0 ⇔ x+4 = 0 lub x+√2 = 0 lub x−√2 = 0 ⇔ x= − 4 lub x= − √2 lub x = √2 ⇔ x∊ { −4; −√2; √2 } odp. rozwiązania tego równania są −4; −√2; √2

Komentator OWMH: zad d).− 2x⁵ +3x⁴ −2x − 3 =0 ⇔x⁴(2x+3) −(2x+3) = 0 ⇔(2x+3) (x⁴−1) = 0 ⇔ ⇔(2x+3) = 0 lub x⁴ − 1 = 0⇔⇔(2x+3) = 0 lub (x² − 1) (x²+1) = 0 ⇔ ⇔ x = −3/2 lub x² − 1= 0 lub x²+1 = 0 ⇔ ⇔ x = −3/2 lub ( x+1) (x−1)= 0 lub x²+1 = 0; ma △<0 ⇔ x = −3/2 lub x+1= 0 lub x−1 = 0 lub x∊∅ ⇔ x = −3/2 lub x = −1 lub x = 1 lub x∊∅ ⇔x = −3/2 lub x = −1 lub x = 1⇔ x ∊ { −3/2; −1; 1} odp. rozwiązania tego równania są −3/2; −1; 1

Komentator OWMH: zad e).− (2x−1)(x ² −1) = 6(x +1) ⇔ (2x−1)(x +1) (x−1) − 6(x +1) = 0⇔ (x +1) [(2x−1)(x−1) − 6 ] = 0⇔(x +1) ( 2x²−2x − x + 1 −6 ] = 0⇔ (x +1) [(2x²− 3x −5] = 0 ⇔x +1= 0 2x²− 3x − 5 = 0⇔ najpierw rozwiązujemy 2x²− 3x − 5 = 0 ; △ = 49 ⇔ x= (−b +/− √△)/2a ⇔x = −1 lub 2x² − 3x− 5 = 0; △ = 49 ⇔x= −1 lub x = (3 −7)/4 lub x = (3 +7)/4⇔ najpierw rozwiązujemy 2x²− 3x − 5 = 0 ; △ = 49 ⇔x = −1 lub x= −1 lub x = 5/2 ⇔ x ∊ {−1; 5/2} odp. rozwiązania tego równania są : −1 (podwójny − wielokrótności 2) ; 5/2

Komentator OWMH: zad f).− 6x³ −13 x² =2−9x ⇔ 6x³ −13 x² + 9x −2 = 0⇔ możliwych pierwiastek tego r−nia są dzielnikami wyrazu wolnego: 2 ; a więc np. 1 podstawiając w równaniu x=1 mamy 6(1)³ −13 (1)² + 9(1) −2 = 0 stąd mamy że 1 jest pierwiastkiem tego równania oraz x−1 dzieli 6x³ −13 x² + 9x −2 tzn. 6x³ −13 x² + 9x −2 = (x−1) P(x); trzeba znaleźć p(x) metodą Hornera: 6 −13 9 −2 1 | ↓ 6 −7 | 2 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 6 −7 2 | 0 ← reszta po dzieleniu przez x−1, z tego mamy: ↓ ↓ ↓ p(x) = 6 x² − 7 x + 2 stąd 6x³ −13 x² + 9x −2 = (x−1) (6 x² − 7 x +2) a więc mamy że: 6x³ −13 x² + 9x −2 =0 ⇔ (x−1) (6 x² − 7 x +2) = 0 ⇔x−1 =0 lub 6 x² − 7 x +2 = 0 Rozwiązujemy 6 x² − 7 x +2 = 0; obliczmy △ = (7)² − 4 . 6 .2 ⇒ △ = 1; a więc 6 x² − 7 x +2 = 0 ⇔ x=( 7−1) /12 lub x=( 7+1) /12⇔x= 1/2 lub x= 2/3 stąd 6x³ −13 x² + 9x −2 =0 ⇔ x= 1 lub x= 1/2 lub x= 2/3⇔x∊{ 2/3; 1/2 ; 1} odp. Rozwiązania tego równania są 2/3; 1/2 ; 1 r