Wykaż, że... Jatkos: Wykaż, że liczba n³+5n jest podzielna przez 6

Jatkos: nikt nie potrafi? to możę chociaż wykazać że to jest podzielne przez 3, bo że jest podzielne przez 2 to już wykazałem

Grześ: spróbuj indykcyjnie może 1. Dla n=1 n³+5n=6 2. Zakładamy, że: n³+5n=6k, dla k∊N₊ 3. Sprawdzamy dla n+1: (n+1)³+5(n+1)=n³+3n²+3n+1+5n+5=n³+5n+3n²+3n+6=6k+3n²+3n+6= =6k+3(n²+n+2)=6k+3[n(n+1)+2]

Trivial: Najszybciej zrobić to indukcją. 1. n₀ = 1. 1³ + 5*1 = 6 − OK. 2. ∀n ≥ n₀, [6|n³+5n] ⇒ [6|(n+1)³+5(n+1)]; podzielne przez 6 ↓ (n+1)³+5(n+1) = n³ + 3n² + 3n + 1 + 5n + 5 = n³+5n + 3n(n+1) + 6 podzielne przez 6 z założenia indukcyjnego ↑ ↑ podzielne przez 3 i 2 Zatem OK.

Jatkos: Wielkie dzięki

Jatkos: Wielkie dzięki

Vax: Indukcyjnie nie jest najszybciej, można zauważyć, że 6 | n³+5n ⇔ 6|n³−n ⇔ 6|(n−1)n(n+1) co jest oczywiste, jako że w iloczynie 3 kolejnych liczb całkowitych zawsze znajdzie się liczba podzielna przez 3 i przynajmniej jedna parzysta. Pozdrawiam.

ancymon: dokładnie tak jak Vax mówi, zresztą to jedyny liecalny sposób bo teoretycznie indukcji nie ma w programie