Zadanko z prawdopodobieństwa Grześ: Witam wszystkich forumowiczów! Chciałem się zwrócić o pomoc. Chodzi mi tylko o same wskazówki, jak rozwiązać pewne zadanie z prawdopodobieństwa. Oto one: Liczby 1,2,3... n, gdzie n≥3, losowo ustawiamy w ciąg. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: C: Iloczyn kazdej pary sąsiednich wyrazów tego ciągu jest liczbą parzystą. Ma ktoś pomysł jak wyznaczyć w ogóle moc zbioru

Grześ: Czy dobrze myślę, że jedyną możliwościa jest tutaj: n− nieparzysta p− parzysta Ustawienie w ciągu: p,n,p,n,p etc Bo jeśli w pewnym miejscu wyszłoby: p,n,p,p,n,n, to pewna para by nie spełniała warunku? Czy dobrze myślę

Godzio: (p),(p lub np), (p) , (p lub np) , ... (p lub np) , (p) , (p lub np) , (p) ... Takie są ustawienia

Grześ: Czy jest ktoś, kto mógłby potwierdzić lub poprawić mój tok rozumowania?

Grześ: Ahaaa... ale słuchaj Godziu.. mnie chodzi o taką sytuacje, że dobra.. ustawimy w pewnym miejscu obok siebie: p , p , to wg mnie będzie istnieć tak czy tak pewne miejsce, gdzie obok siebie będą dwie nieparzyste. Dobrze myślę

Godzio: A zgadza się, wydawało mi się że losujemy, a nie ustawiamy losowo, w takim jest tak jak myślisz

Grześ: Czyli dobrze myślę, tylko teraz myślę, że będą chyba dwa ciągu, bo może być: n,p,n,p,...,n,p Albo p,n,p,n...p,n I teraz spróbuję zapisać jakoś moc tego zdarzenia

Grześ:

	n		n
Mamy n liczb, czyli		parzystych,		nieparzystych
	2		2

	n		n
|C|=(		)!*(		)!*2
	2		2

Dobrze myslę

Grześ: Tylko teraz jak możesz, to pomóż mi, czy da radę jakoś skrócić to wyrażenie, bo: |Ω|=n!

	|C|
P(C)=		=.... da radę jakos prosto zapisać
	|Ω|

Godzio:

	n		n
No ale czekaj, nie koniecznie musi być		parzystych i		nieparzystych
	2		2

Grześ: hmm... o kurcze fakt , pospieszyłem się... bo w sumie będzie np. n = 5 i lipa...

Grześ: jest jakaś inna metoda, poza skorzystaniem z cechy liczby i "sufitu" Bo to teraz mi przyszło go głowy. Jest "podłoga" i "sufit" Kojarzysz to

Grześ: "podłoga" byłaby dla liczb parzystych, czyli największa całkowita część A "sufit" dla liczb nieparzystych, czyli najbliższej wyższej liczby całkowitej

Godzio : Kojarze kojarze, ale to w czymś to pomoże ?

Grześ: Wg mnie tak, bo jeśli rozpoczynamy od 1, to np. dla n=5, mamy trzy liczby nieparzyste Czyli wzór by się zgadzał, bo "sufit" dla 2,5 byłby 3

Grześ:

Godzio : To teraz zapisz to tak żeby się coś skróciło

Grześ: no właśnie o to chodzi, że nie da rady chyba skrócić i myslałem, że może lepiej rozbić na dwa przypadki, czyli dla: n parzystego n nieparzystego Wtedy może cokolwiek się skróci

Godzio : też to nic nie da

Grześ: 1^∧ Dla n=2k, gdzie k≥2: |Ω|=(2k)! |C|=k!*k!*2

	(k!)2*2
P(C)=
	(2k)!

2^∧ Dla n=2k−1, gdzie k≥2: |Ω|=(2k−1)! |C|=k!*(k+1)!*2

	(k!)2*(k+1)*2*(2k−1)
P(C)=
	(2k)!

Przeanalizujesz

Grześ:

	1		2k−1
Teraz przypadki razem dać, bo zamieniłem		na
	(2k−1)!		(2k)!

Grześ: Na kartce zobaczę, czy po wspólnym ułamku i próbie wyciągnięcia czegoś, to coś da

Godzio : Ale dlaczego właściwie mnożysz przez 2 przy nieparzystej ilości ? w tym drugim przypadku 2k + 1 jest, a nie 2k − 1

Grześ: dałem 2k−1, żeby złapało dla n≥2, to to samo

Grześ: dla k≥2

Grześ: Kurdeee... no fakt znowu utrudnienie.... bo jest nieparzysta ilość liczb.... kurde... nie mam już chyba siły

Godzio : Proponuję odłożyć na później

Grześ: aaa.... dla nieparzystej bedzie bez mnożenia przez 2... bo odwrotnie nie da rady.... a w parzystej ilości da radę... Już wiem.. próbuje na kartce z tym cos zrobić

6: a masz jakiś wynik do zadania

Grześ: właśnie o to chodzi, że to jest zadanie, które nie ma rozwiązania...

Grześ: nie ma podanego rozwiązania... może ma ktoś w ogóle inny lepszy pomysł na prostsze rozpatrzenie tego ciągu liczb Po wykonaniu działań została mi taka postać:

	(k!)2(2k2+k+1)
P(C)=
	(2k)!

Grześ: Ma ktoś jeszcze ochote i czas na zgłębienie tegoż zadania Godzio śpisz

Grześ: podbijam kochani forumowicze..

Grześ: to jutro może da radę dokończyć to zadanie Dobranoc wszystkim

Trivial: |Ω| = n! Iloczyn parzysty, gdy: p*p, p*n, n*p Nieparzysty, gdy: n*n Przypadek pierwszy: n − parzyste, wtedy mamy taką samą liczbę elementów parzystych i nieparzystych, a zatem jedyną opcją jest ustawienie 'na przemian'.

	n		n
Tworzymy parę (p,n) lub (n, p). Możliwości jest 2!*(		)! − mamy		możliwych miejsc
	2		2

do wyboru dla pierwszej pary.

n

n

n−2

n−4

1

n!!

|C| = 2!*(

)! = 2*

*

*

*...*

= 2*

2

2

2

2

2

2n/2

Przypadek drugi: n − nieparzyste, wtedy liczb nieparzystych jest o jedną więcej niż parzystych. Wybieramy jeden z elementów nieparzystych, który będzie na samym początku lub na samym końcu.

	n+1		n+1
Elementów nieparzystych jest		, czyli mamy 2*		= n+1 możliwości dla tego
	2		2

elementu. Teraz liczb parzystych jest tyle samo co liczb nieparzystych, a zatem mamy

	n−1
2!*(		)! możliwości ustawienia pozostałych elementów.
	2

	n−1		(n+1)!!
|C| = (n+1)*2!*(		)! = 4*		.
	2		2(n+1)/2

Nie mam pojęcia, czy dobrze to rozwiązałem.

Grześ: podoba mi się Twoje rozwiązanie, jest dobre, tylko zastanawiam się czemu masz tylko

	n		n
2!*(		)!, bo to jest tylko kombinacja pary, a teraz można ją jeszcze ustawić na
	2		2

miejscach, więc wg mnie powinno być:

	n
2!*[(		)!]2
	2

Tak samo w drugim przypadku

Trivial: Ewentualnie można rozważyć inny model. Niech poszczególne liczby mają atrybut: 0 jeśli nieparzyste, 1 jeśli parzyste. |Ω| = 2ⁿ, bo tyle jest ciągów binarnych o długości n. Jeżeli n − parzyste, to mamy do wyboru dwa ciągi: C = {(1, 0, 1, 0, 1, 0, ..., 1, 0), (0, 1, 0, 1, 0, 1, ..., 0, 1)} |C| = 2

	2		1
P(C) =		=		.
	2n		2n−1

Jeżeli n − nieparzyste, to mamy do wyboru tylko jeden ciąg: C = {(0, 1, 0, 1, ..., 0, 1, 0)} |C| = 1

	1
P(C) =		.
	2n

Być może dobrze.

Grześ: Dobra.. yy... mysle, że chyba dam spokój temu zadaniu. Zaraz napiszę rozwiązanie paru innych podobnych i sprawdzisz, czy dobrze zrobione, jeśli możesz

Trivial: Jednak jest źle Ω wyznaczona, bo mamy do dyspozycji pewną ilość jedynek i pewną ilość zer... Ale wystarczy poprawić omegę i będzie ok.

Grześ: Liczby 1,2,3.... n , gdzie n≥3, losoow ustawiamy w ciąg. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: A: Liczba "n" nie będzie ostatnim wyrazem tego ciągu: Czyli: |Ω|=n! |A|=(n−1)*(n−1)!

	(n−1)*(n−1)!		n−1
PA=		=
	n!		n

B: liczby 1,2,3 występują obok siebie w kolejności wzrastania: |Ω|=n! |B|=(n−2)*(n−3)!=(n−2)!

	(n−2)!		1
PB=		=
	n!		n(n−1)

Jak myślisz dobrze zrobione Bo właśnie zdarzenie C jest z tego zadania i tylko ono sprawiło trudności

Trivial: Raczej dobrze. Zaraz wymyślę to C.

Grześ: A tak na marginesie, to ćwiczę właśnie zadania takie na konkurs na AGH. Było podobne na II etapie i tamte zdarzenia był spoko do przeliczenia

Trivial: Na co się wybierasz?

Grześ: hehe... no właśnie jeszcze nie wiem, ale będę miał rok czasu, by się zastanowić. Narazie próbuję swych sił i mam tydzień czasu do etapu finałowego

Trivial: Być może

	n n/2
|Ω| =		, gdy n − parzyste

	n (n−1)/2
|Ω| =		, gdy n − nieparzyste.

Trivial: Działa dla n=3.

Grześ: Hehe... ja już nie wiem w końcu.. to są zadania z zeszłych lat i nie ma w ogóle rozwiązań do nich... Mniej więcej wiedziałbym teraz jak ten przypadek rozwiązać, ale wątpię czy się by powtórzył. Mam jeszcze parę podobnych zadań. Oczywiście dziękuję za dotychczasową pomoc. Za parę minut wrzucę nastepne

kamis: Rozwiązania są, tylko trzeba dobrze poszukać Do Twojego problemu: http://www.matematyka.pl/237303.htm

Grześ: szczerze to nie wpisywałem i nie szukałem, więc serdecznie dzięki. Gośc przedstawił tam identyczny sposób w jaki ja to zadanie rozwiązałem A więc dobrze myślałem