Obliczyć granice funkcji Moniczka2209: Obliczyć granice funkcji lim 2x - sin5x / e ^x- e^-x x->0

Basia: używaj nawiasów albo kreski ułamkowej bo nie wiadomo czy to ma być: 2x - sin5x --------------- e^x - e^-x czy sin5x 2x - ------------- - e^-x e^x

Moniczka2209: wybacz 2x - sin5x --------------- ex - e-x

Moniczka2209: kurcze potegi sie skasowaly 2x - sin5x --------------- e ^x- e^-x

Bogdan: To jest granica typu 0/0, można więc zastosować regułę de L'Hospitala. Policz pochodną w liczniku i pochodną w mianowniku, w otrzymanych wynikach wstaw w miejsce x zero.

moniczka2209: no okej . pochodna umie liczyć ale skąd wiem ze wyjdzie tu zero i tu zero. czy juz można stosować ta metodę l'hopitala czy wymaga dany przykład przekształcenia?

Bogdan: Licznik: 2*0 - sin(5*0) = 0 - 0 = 0 Mianownik: e⁰ - e⁰ = 1 - 1 = 0 Już można

romek: czyli wychodzi ostatecznie : 2-cos5x 2-0 ---------------------- = ------------- =2 e^x - e^-x *(-1) 1+1 tak?

romek: oj błąd 2-cos5x 2-0 ---------------------- = ------------- =1 ex - e-x *(-1) 1+1

Bogdan: Źle policzone pochodne w liczniku, nie jest ani 2, ani 1. (-sin5x)' = -5cos5x, a nie -cos5x oraz cos0 = 1

romek: (2x-sin5x) (2-5cos5x) -3 ------------- = ----------------------- = ------------------ (e^x-e^-x). (e^x+e^-x) 2

Bogdan: Tak jest

romek: a gdybyśmy mieli taki przykład: x² lim --------------------- x-> o 3 cos7x - 3 to nie możemy <chyba> od razu zostosować de l'hopitala bo wychodzi nam 0 ---i co wtedy? jak to przekształcić? 0-3

Bogdan: Mianownik: dla x = 0: 3cos7x - 3 = 3 * 1 - 3 = 0 bo cos0 = 1 I tu można od razu stosować tę regułę.

Bogdan: Jeśli ponownie otrzymujemy wyrażenie nieoznaczone typu 0/0 lub ∞/∞ to jeszcze raz stosujemy regułę de L'Hospitala

romek: a to 7x? to nie jest nic waznego w tym wyrazeniu?

romek: a nie juz wiem bo 7 *0 to jest zero

romek: czyli x² 2x 2 lim --------------------- = -----------------------------= -------------------- x-> o 3 cos7x - 3 7* 3cos7x 7*7*3(-sin)7x dobrze kombinuje?

Bogdan: Źle. Powinno być: x² H 2x H 2 lim -------------- = lim ------------- = lim --------------- x→0 3cos7x - 3 x→0 -21sin7x x→0 -147cos7x ponieważ -147cos(7*0) = 147 to granicą jest 2/-147

romek: właśnie widzę, że przepisałem. w końcu coś mi się rozjaśniło. i ost przykład mam nadzieję , że już wszędzie jest ok: 2x-sin2x H 2- 2cos2x lim -------------------- = lim -------------------- = x->0 e^-x + e^x - 2 x->0 (-1)*e^-x + e^x H 4sin2x H 16 cos2x = lim ------------------ = lim --------------- = x->0 e^-x + e^x x->0 e^-x + e^x 16* 1*2 32 = -------------= ----------- = 16 1+1 2

Bogdan: Przelicz jeszcze raz, masz błędy rachunkowe, ponadto e^-x + e^x = 2 dla x = 0

romek: 8 cos2x 16 lim --------------- = ----- = 8 x->0 e^-x + e^x 2 e^-x + e^x = 2 dla x = 0 to uwzględniłem

Basia: nie H 4sin2x 4sin0 0 = lim ------------------ = -------------- = ------ = 0 x->0 e^-x + e^x e⁰+e⁰ 2 i koniec mianownik już tu nie dąży do 0, więc r.H nie ma zastosowania

Bogdan: Tak jest Basiu, witam

Basia: Witam Bogdanie! Wybacz, że się wtrąciłam, ale już mnie rozpacz zaczęła ogarniać. Podziwiam Twoją cierpliwość.

romek: ej spokojnie tam. bez stresu. jak ktoś nie wie może pytać Polska wolny kraj i istnieje takie cos jak wolność słowa. a i dzieki.