matematykaszkolna.pl
. KKH: ∫ x arctg2x dx Jakieś pomysły? Bo ten kwadrat mi z lekka przeszkadza.....emotka
26 mar 16:37
KKH: Ktoś wie?
26 mar 18:46
Godzio : A próbowałeś przez części ?
26 mar 18:51
Godzio :
 x2 (xarctgx)2 1 
∫(
)'arctg2xdx =
− ∫x2arctgx *
dx =
 2 2 1 + x2 
 (xarctgx)2 1 
=
− ∫arctgx * (1 −
)dx =
 2 1 + x2 
 (xarctgx)2 arctgx (xarctgx)2 
=
− ∫arctgxdx + ∫
)dx =
− (1) + (2)
 2 1 + x2 2 
 x 
(1) = ∫arctgxdx = x * arctgx − ∫
 x2 + 1 
x2 + 1 = t
 1 
2xdx = dt ⇒ xdx =
dt
 2 
 x 1 1 1 1 
∫
=
∫
dt =
ln|t| =
ln|x2 + 1|
 x2 + 1 2 t 2 2 
 1 
(1) = x * arctgx −
ln|x2 + 1|
 2 
 arctgx 
(2) = ∫
)dx
 1 + x2 
arctgx = t
1 
dx = dt
1 + x2 
 arctgx t2 arctg2x 
∫
)dx = ∫tdt =
=
 1 + x2 2 2 
Odp:
 x2 (xarctgx)2 1 arctg2x 
∫(
)'arctg2xdx =
− x * arctgx +
ln|x2 + 1| +
 2 2 2 2 
Chyba się nie pomyliłem
26 mar 18:59
Trivial: Można pocałkować przez części.
 x2 x2 1 
∫xarctgx dx =
arctgx − ∫
*
dx
 2 2 1+x2 
 x2 1 1 1+x2−1 1 1 
∫
*
dx =
∫
dx =
∫(1 −
)dx =
 2 1+x2 2 1+x2 2 1+x2 
 x 1 
=
−
arctgx + c.
 2 2 
 x2 x 1 1 x 
∫xarctgx dx =
arctgx−
+
arctgx + c =
arctgx(x2 + 1) −
+ c.
 2 2 2 2 2 
∫xarctg2xdx = ∫xarctgx * arctgx dx =
 1 x 
1 x 
arctgx(x2 + 1) −
2 2 
 
= [
arctgx(x2 + 1) −
]*arctgx − ∫
dx =
 2 2 x2+1 
 1 x 1 x 
=
arctg2x(x2 + 1) −
arctgx −
∫(arctgx −
)dx = J.
 2 2 2 x2+1 
 x 1 
∫arctgxdx = xarctgx − ∫
dx = xarctgx −
ln|x2+1| + c.
 x2+1 2 
 1 x 1 
J =
arctg2x(x2 + 1) −
arctgx −
[xarctgx − ln|x2+1|] + c =
 2 2 2 
 1 1 
=
arctg2x(x2 + 1) − xarctgx +
ln|x2+1| + c.
 2 2 
Być może dobrze.
26 mar 19:08
KKH: dzięki emotka
26 mar 19:50