geometria analityczna sylwia: punkty A(0,3) i B(4,5) są wierzchołkami trójkata równoramiennego ABC, w którym |AB|=|BC|. Wysokość BD trójkata zawiera się w prostej o równaniu 3x-y-7=0. Oblicz współrzędne wierzchołka C oraz pole trójkata ABC.

Basia: prosta BD jest prostopadła do prostej AC czyli pr. BD y = 3x - 7 pr. AC: y = (-1/3)x + b A∈pr.AC czyli jego współrzędne spełniają równanie prostej 3 = (-1/3)*0 + b b =3 pr.AC y = (-1/3)x +3 /*3 3y = -x + 9 x + 3y - 9 =0 punkt D należy do pr.AC i pr.BD czyli jego współrzędne są rozwiązaniem układu równań x + 3y - 9 = 0 3x - y - 7 = 0 /*3 x + 3y - 9 = 0 9x - 3y - 21 = 0 ------------------------ 10x - 30 =0 10x =30 x =3 3*3 - y - 7 = 0 9 - 7 = y y =2 D(3,2) → → AD = DC → AD = [ 3 - 0; 2 - 3] = [3;-1] → DC = [x_c -3; y_c -2] x_c-3 = 3 x_c =6 y_c-2 = -1 y_c = 1 C(6;1) |AC| = √(6-0)² + (1-3)² = √36 + 4 = √40 = 2√10 |BD| = √(3-4)² + (2-5)² = √1 + 9 = √10 P = |AC|*|BD|/2 = 2√10*√10/2 = 10