Tożsamości trygonometryczne whatever: Witam. Czy mógłby ktoś mi pokazać jak mam zrobić dane zadanie ? kompletnie nie mam pomysłu. Sprawdź czy podana równość jest tożsamością trygonometryczną. a) 1− 2sin² α= 2 cos² α − 1

morfepl: bierzemy Lewą stronę (nie chce mi się za każdym razem wstawiać α więc będzie x) L=1−2sin²x=1−2(1−cos²x)=1−2+2cos²x=2cos²x−1 L=P korzystałem ze wzoru na jedynkę trygonometryczną sin²x+cos²x=1

whatever: dziękuje, jednak dalej nie wiem skąd to jest.

morfepl: musimy tak poprzekształcać jedną ze stron, żeby w rezultacie wyszła nam druga strona sin²x=1−cos²x

komentator OWMH: Trzeba trochę wiedzieć co to jest funkcje trygonometryczne oraz jej podstawowe tożsamości. Jeśli masz udowodnić jakiś tożsamości trygonometryczne; po pierwsze musisz znać te podstawowe tożsamości trygonometryczne; pamiętaj że w trygonometrii mamy do czynienia z wielkościami który są mierzalnymi jak długość i kąty. Trygometrię w pewnej sensie ma nam pomóc; w zadaniach związanych z obliczenia długość odcinka ( należące do pewnego trójkąta); obliczenia pole figur gdzie jego obliczenia wymaga obliczenia długości odcinka ; lub w zadaniach gdzie trzeba obliczyć objętości jakieś figury ale w tych wszystkich zadaniach muszą być zadanych jako znanych długości odcinków i kątów związanych z tym co szukamy. Po co tę uwagę bo tak zdarza się że tożsamości trygometryczne mają coś o tw. Talesa i tw. Pitagorasa ; pamiętajmy że długości odcinka jest miarą (tak jak pieniądz jest miarą czasu realnego oddane pewnej pracy). Funkcje trygonometryczne (F.T) danego kąta są sinus kata; cosinus kąta tangens kąta; cotangens kąta i to są liczbami ; otrzymanych ze stosunki miedzy długości boków trójkąta prostokątnego ( musi być tak bo tu mamy tw. Pitagorasa które mówi o relacji długości boków w △ prostokątnym) do którego należy tego kąta . Mamy tożsamości trygonometryczne: I Typu pitagorejskie oznacza ze tu musi mieć postaci A² + b² = C² II Typu relację jak w tw. Talesa : A/ B = C Ponieważ to mają być tożsamości trygonometryczne to co najmniej dwa z tych Wielkości A, B, lub C muszą być funkcje trygonometryczne. A więc mamy że te z typu pitagorejskie i te typu Talesa otrzymamy z tak zwany konstruując koło trygonometryczne o promieniu 1 ( koło jednostkowe); zaznaczając kąta α i jej F.T sin , cos i tg ; ctg ( Musi być tak że wartość jednej F.T jest wartością odwrotnej drugiej F.T; a więc między sobą zachodzi że F.T ₁ . F.T₂ =1) I Typu pitagorejskie : (F.T ₁)²+ ( F.T₂)² =1 (1) sin² α + cos² α = 1 ; (2) 1+ tg² α= 1/ cos² α otrzymany z (1) dzieląc przez cos α ≠0 I Typu Talesa typu proporcje : F.T ₁ / F.T₂ = F.T₃ (3) sin α / cos α = tg α ; gdzie cos α≠0 (4) cos α / sin α = ctg α ; gdzie sin α ≠0 Typu odwrotności F.T ₁ . F.T₂ =1 (5) tg α . ctg α = 1 ( inna postać tg α = 1/ ctg α) tutaj tg α≠0 i ctg α≠0 Jak udowodnić inne tożsamości trygonometryczne Np. 1− 2 sin² α= 2 cos² α − 1 Udowodnić jakiekolwiek tożsamości trzeba doprowadzić jedna strona do Drugiej opierając się na innych tożsamości znanych tak przekształcając tę stronę wybraną do postaci drugiej strony Wybiera się ta strona która wygląda na skomplikowanej; tutaj oba są takie same. Określamy te strony Lewa strona przez L a prawa strona przez P L = 1− 2 sin² α a P = 2 cos² α − 1 mamy udowodnić ze L = P Wybieramy L i przekształcamy do postaci P Do tego patrzymy co występuje w tej strony wybranej przez nas A więc widzimy że w L występuje sin² α; to nam zasugeruje że musimy używać tożsamości pitagorejskie ( jak wiemy w P występuje co² α) Stąd z sin² α + cos² α = 1 obliczamy sin² α = 1− cos²α i Podstawiamy w L a więc: L = 1 – 2(1− cos²α) ⇔ L = 1− 2 + 2 cos² α ⇔ L = 2 cos² α−1 Stąd jak mamy to L = P

roksi: α i Ω