Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania Zosia: Trzy różne liczby tworzą ciąg geometryczny. Liczby te są jednocześnie ósmym, trzydziestym piątym i sto czterdziestym trzecim wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Wyznacz te liczby, jeśli wiadomo, że ich suma jest równa 567.

Czarownica: a₈, a₃₅, a₁₄₃ − te liczby tworzą ciąg geometryczny, więc z właściwosci a_n²=a_n−1*a_n+1 mamy pierwsze równanie układu równań suma a₈, a₃₅, a₁₄₃ to 567 − drugie równanie ze wzoru na ogólny wyraz ciagu arytmetycznego mamy 3 kolejne równania układ równań wygląda nastepująco: 1) a₃₅²= a₈ * a₁₄₃ 2) a₈+a₃₅+a₁₄₃ = 567 3) a₈= a₁ +7r 4) a₃₅= a₁ +34r 5) a₁₄₃= a₁ +142r mając 5 równań i 5 niewiadomych możemy wszystko wyznaczyć podstawiając 3,4,5 równanie do 1 i 2 mamy: 1) (a₁ +34r)²=(a₁ +7r)(a₁ +142r) 2) a₁ +7r + a₁ +34r + a₁ +142r = 567 ⇒ a₁ = 189 − 61r tak wyznaczone a₁ podstawiamy do równania 1 i mamy: (189 − 61r +34r)²=(189 − 61r+7r)(189 − 61r+142r) jak wszystko wymnożymy i przeniesiemy na lewą stronę to mamy równanie kwadratowe: 5103r²−15309r=0 r(r−3)=0 r₁=0, r₂=3 mamy więc dwa rozwiązania: dla r₁=0 a₈=189 a₃₅= 189 a₁₄₃= 189 dla r₂=3 a₈=27 a₃₅= 108 a₁₄₃= 432