klasa abstrakcji danej relacji adeye: Wyznacz klase abstrakcji danej relacji xRy⇔²_x+y Oczywiście relacja jest relacją równoważności Chodzi mi tylko o klasę abstrakcji Prosił bym też o krótką informacje jak wyznaczyć tą klasę abstrakcji. Proszę o szybką odpowiedz

adeye: odświeżam

Maria: hm ale ta Twoja relacja jak jest zdefiniowana? ²_x+y=?

adeye: w zbiorze liczb naturalnych 2/(x+y)

Maria: czyli xRy⇔²_x+y∊ℕ ? no to w takim razie x+y musi być równe 2, aby ta liczba (²_x+y) byla liczba naturalna. czyli klasa abstrakcji jedynki [1]_R=1. jeżeli do liczb naturalnych nie zaliczacie zera to to jest jedyna klasa abstrakcji.

adeye: hmm chyba ja cos pokręciłem x∊N natomiast relacja wygląda tak: xRy⇔2/(x+y) zmienia to klasę abstrakcji ?

Maria: no czekaj jak masz relację to musisz ją jakoś zdefiniować. To znaczy, że x jest w relacji z y wtedy i tylko wtedy gdy coś tam. Czyli dwa elementy są ze sobą w relacji gdy spełniają jakiś warunek. No i ja się pytam jaki jest ten warunek no bo samo ²_x+y nie jest warunkiem tylko takim ulamkiem z ktorym nie wiem co mam zrobic

Maria: natomiast jeżeli w zadaniu masz napisane, że relacja jest określona na zbiorze liczb naturalnych, to wtedy to zmienia postac rzeczy. No bo wtedy 2/(x+y) musi byc liczba naturalna. Jezeli do liczb naturalnych zaliczacie zero, to wtedy [0]_R=2 oraz [1]_R=1 i to sa jedyne klasy abstrakcji.

adeye: Fakt, nie zauważyłem tego. przepraszam Ogólnie treść zadania mam taką: Podaj 3 przykłady relacji równoważności i dla każdej z nich podać klasę abstrakcji. Oczywiście jak spr czy relacja jest relacją równoważności wiem jak spr ale gorzej z tymi abstrakcjami. Dlatego proszę cie Mario o 2 przykłady relacji i ich klas abstrakcji (pomiń udowadnianie że relacja jest relacją równoważności). Tylko klasy abstrakcji proszę

Maria: ah czekaj ja juz nie mysle jezele do liczb naturalnych zaliczacie zero to: aby ta liczba byla naturalna: a) x+y=2 i wtedy [0]_R=2 [1]=1 b) x+y=1 i wtedy [0]_R=1 czyli [0]_R=1 oraz 2 [1]_R=1

adeye: hmm chyba zaczynam łapać ocb z tymi abstrakcjami napisałaś tak: [0]_R=1 to [0]_R a dokładniej 0 to x a y to 1? Następnie podstawiam to pod x+y czyli 0+1 co daje 1 a 2/1 daje 2 czyli liczbę naturalna w ten sposób to działa ?

Maria: ok no to tak: jak masz zbiór X i określoną w nim relację równoważności R to klasa abstrakcji elementu x∊X jest to zbior takich elementow y, ktore sa w relacji z x. Czy wymyslmy sobie jakas relacje rownowaznosci, np relacja w zbiorze liczb (1,2,3,4) okreslona w ten sposob: xRy⇔x≤y. Bierzemy pierwszy element zbioru(czyli 1) i szukamy elementow bedacych z nim w relacji czyli od niego wiekszych lub rownych. jest to 1,2,3,4, czyli [1]=1,2,3,4 . Patrzymy, ze w tej klasie abstrakcji sa juz wszystkie elementy, wiec nie szukamy innych klas.

Maria: tak dokladnie w ten sposob to dziala, bierzesz po kolei wszystkie elementy ze zbioru i szukasz elementow ktore sa z nimi w relacji − i to jest wlasnie klasa absrakcji. Z tym, że trzeba pamietac, ze jezeli jakis element pojawi sie w dwoch klasach abstrakcji to te klasy abstrakcji sa sobie rowne. no generalnie jest kilka twierdzen o klasach abstrakcji

Maria: a mozna zapytac co studiujesz, ze macie dopieru algebre teraz?

adeye: Informatyka To jest materiał z matematyki dyskretnej. Algebre miałem w 1 sem ale czegoś takiego nie było. Możesz podać jeszcze 1 prosty przykład relacji i jej klasy abstrakcji ?

Maria: X={1,2,3,...,16} xRy⇔4|x²−y² (po polsku: x w relacji z y wtedy i tylko wtedy gdy 4 dzieli x²−y². [1]_R={1,3,5,7,9,11,13,15} [2]_R={2,4,6,8,10,12,14,16} nie wiem czy jest proste, na pewno jedyne na jakie wpadlam, nie umiem wymyslac, dobranoc

adeye: [1]R={1,3,5,7,9,11,13,15} 1 ? 1²−1²=2 a 2/4 to jest ułamek więc coś tu chyba nie pasuje. No chyba, że wynikiem może być ułamek

b.: mam kilka uwag: > natomiast relacja wygląda tak: xRy⇔2/(x+y) czyli xRy, gdy x+y jest parzyste, albo −− innymi słowy −− gdy x oraz y są tej samej parzystości (obie parzyste lub obie nieparzyste), stąd są 2 klasy abstrakcji: [1] (zbiór liczb naturalnych nieparzystych) i [2] (...parzystych) > jakas relacje rownowaznosci, > np relacja w zbiorze liczb (1,2,3,4) okreslona w ten sposob: xRy⇔x≤y To nie jest relacja równoważności! Nie jest symetryczna! Intuicyjnie rzecz biorąc, relacja równoważności podaje pewien przepis na utożsamianie elementów ze względu na jakąś cechę (np. powyżej −− parzystość), a klasa abstrakcji to zbiór wszystkich elementów, które mają taką samą cechę. Np. X = zbiór ludzi, aRb <=> a i b są tej samej płci, sa 2 klasy abstrakcji: kobiety i mężczyźni (ok, można pewnie dyskutowac, ale mniejsza o szczegóły ) Albo X=zbiór wszystkich zwierząt, aRb <=> a i b są tego samego gatunku i wtedy jeśli np. x jest psem sąsiada, a y− sąsiadki, to [x] = [y] = zbiór wszystkich psów. X = zbiór wszystkich autobusów miejskich jeżdżących po Warszawie, relacja: aRb <=> a i b mają taką samą trasę klasy abstrakcji tej relacji oznacza się zwykle numerami, 101, 102, 103, ... (elementem klasy abstrakcji 101 jest dowolny autobus jeżdżący trasą ,,101'') X = zbiór wszystkich podzbiorów płaszczyzny, aRb <=> a i b są podobne (tj. są figurami podobnymi) jeśli x jest jakimś trójkątem równobocznym, to [x] = zbiór wszystkich trójkątów równobocznych na płaszczyźnie

ddff: zbadaj własności relacji 2|(x+y) dla x,y∊n