Wykaż
maturzysta: Wierzchołki A i B kwadratu ABCD leżą na paraboli y = x2 − 6x + 19, przy czym odcinek
AB jest równoległy do osi Ox. Wykaż, że jeżeli odległość punktu A od osi Ox jest liczbą
całkowitą to pole kwadratu ABCD również jest liczbą całkowitą.
20 mar 16:05
maturzysta: Jakiś pomysł?
20 mar 16:17
maturzysta: Pomoże ktoś?
20 mar 16:36
maturzysta: Pomoże ktoś?
20 mar 18:32
maturzysta: halo
20 mar 18:40
maturzysta: kazda pomoc mile widziana
20 mar 18:44
maturzysta: Aż takie trudne zadanie?
20 mar 18:52
bart: poprosiles tylko Ete, Godzia i Triviala.
Zadanie jest dosc prtoste, ale inni sa urazeni powyzszym faktem, dlatego nikt nie robi
20 mar 19:09
maturzysta: Zadanie było od godziny 16 tutaj
(bez dedykacji) nikt nie był chętny więc proszę osoby,
które widzę ze są codziennie na forum
Jak możesz to rozwiąż
20 mar 19:11
kamis:
Skorzystaj w rozwiązaniu z wzorów Viete'a
20 mar 19:12
maturzysta: mógłbyś to rozwiązać?
20 mar 19:19
maturzysta: halo
20 mar 19:28
kamis:
x2 − 6x + 9 ⇒ xw = 3 ⇒ yw = 10
Wierzchołki A i B maja tą samą rzędną − oznaczmy ją jako p
Współrzędne punktu A − x1, p
Współrzędne punktu B − x2, p
Odległość obu punktów od osi OX jest równa p i p > 10
Obliczam długość odcinka AB
|AB| = √(x2 − x1)2 + (p−p)2 = √(x2 − x1)2
Pole kwadratu ABCD = |AB|2 ⇒ (x2 − x1)2
X1, X2 są pierwiastkami równania:
x2 −6x + 19 = p ⇒ x2 − 6x + 19 − p = 0
Wracam do pola kwadratu i przekształcam wyrażenie:
Pole kwadratu ABCD = (x2 − x1)2 = x12 − 2x1x2 + x22 = (x1 + x2)2 − 4x1x2
Korzystam z wzorów Viete'a
Pole kwadratu ABCD = (x1 + x2)2 − 4x1x2 = 62 − 4(19 − p) = 36 − 76 + 4p
Pole kwadratu ABCD = −40 + 4p = 4(−10 + p)
Jeśli p ∊ C to wyrażenie (−10 + p) jest również całkowite, iloczyn daje liczbę całkowitą
dodatnią.
20 mar 19:31
maturzysta: Skąd otrzymałeś: (x1 + x2)2 − 4x1x2 ? do tego momentu:
Pole kwadratu ABCD = (x2 − x1)2 = x12 − 2x1x2 + x22 rozumiem lecz dalej coś mi się
miesza i nie wiem skąd to −4x1x2
20 mar 19:33
kamis:
(x1 + x2)2 − 4x1x2
Aby otrzymać wyjściowe wyrażenie: x12 − 2x1x2 + x22 muszę od :
(x1 + x2)2 = x12 + 2x1x2 + x22
odjąć taką liczbę aby otrzymać wyjściowe wyrażenie, czyli odejmuje 4x1x2
20 mar 19:39
maturzysta: a skąd to: (x
1 + x
2)
2 ?
bo (x
2 − x
1)
2 to wiem skąd się wzięło
20 mar 19:45
Mastah: Mam pytanie odnośnie:
Wierzchołki A i B maja tą samą rzędną − oznaczmy ją jako p
Odległość obu punktów od osi OX jest równa p i p > 10
Raz traktujesz p jako współrzędną, a raz jako odległość i dlaczego p > 10?
Przecież odległość rzędna punktu A może być < 10
20 mar 19:47
Trivial:
y(x) = x
2 − 6x + 19
p = 3.
Zauważ, że ten kwadrat będzie symetryczny względem prostej x = p.
Przez ε rozumiemy pewne przesunięcie od prostej x=p, ε>0
Przez y
0 rozumiemy y(3−ε) = y(3+ε) = y
0 (bo funkcja kwadratowa jest parzysta).
A = (3−ε, y
0), B = (3+ε, y
0)
P = |AB|
2 = (3−ε − 3−ε)
2 + (y
0−y
0)
2 = (−2ε)
2 = 4ε
2.
Odległość punktu A od osi Ox, to po prostu nasze y
0, czyli:
y
0 = y(3+ε) = (3+ε)
2 − 6(3+ε) + 19 = 9 + 6ε + ε
2 − 18 − 6ε + 19 = ε
2 + 10.
ε
2 + 10 ∊ ℤ, czyli ε
2 ∊ℤ, zatem 4ε
2 ∊ℤ, c.k.d.
20 mar 19:49
maturzysta: bardziej mi się podoba rozwiązanie kamisa
tylko skąd wzięło się u niego (x
1 + x
2)
2 na jakiej podstawie?
20 mar 19:50
Trivial: Ze wzoru skróconego mnożenia.
− działanie w drugą stronę.
20 mar 19:53
maturzysta: no to teraz wszystko jasne
dziękuje
20 mar 19:55