całki oznaczone Magda: Całki POMOCY Wałśnie rozwiazuje zadania z całk oznaczonych i niewłaściwych i zaczynają sie pojawiać problemy proszę o pomoc narazie przy jednym, może dla niektórych banalnym przykladzie ale ja gdzie srobie bład ( zaznaczam, że nie wie gdzie w symbolach roobi się górną i dolną granicę całkowania ) a) 2 ∫ ¹_x dx odp. całka rozbiezna 0

Trivial: _{2 2 2} ∫¹_xdx = lim_α→0⁺∫¹_xdx = lim_α→0⁺[−¹/_x²] = lim_α→0⁺−¹₄+¹/_α²=+∞ ^{0 α α} Wniosek: całka rozbieżna.

Magda: a skąd wziąłeś te 0 z plusem, że daży do 0 z plusem ja nic takiego nie miałam w przykładach z lekcji

Trivial: Jest na dole − dążymy ze strony prawej. Jakby była to granica górna, to by było z lewej.

Trivial:

	1
Trzeba przypatrzeć się osobliwościom całki. Zauważ, że dla 0 funkcja		nie jest
	x

określona.

Magda: a nie wystarczy że dążymy do 0 a nie zero z plusem Ja pamiętam że do całek oznaczonych nie stosowaliśmy póxniej granicy funkcji przed całką, tylko przy niewłaściwych prz oznaczonych normalnie przekształcanie a potem podstawianie.

Trivial: W tym wypadku wystarczy, ale nie zawsze tak jest.

Magda: czyli tu moge po prostu napisać, że dąży do 0 a nie da se tego inaczej zrobić tak jak wyżej pisałam, że wykorzystywalismy granice funkcji przed całką tylko do niewłaściwych, czy tak zostawić ?

Trivial: Nie można. Musi być 0⁺, bo dążymy z prawej, a nie z lewej. Limesy wykorzystujemy, gdy jedna z granic całki jest osobliwa − nieskończoność, lub funkcja dla tego punktu jest nieokreślona.

Magda: a ttaj mamy nieokreśloną czyli rozumiem a skąd mam wiedziec do ktorej strony dążyć? podstawić sobie tą każda liczbe d fukcji? a co jesli górna i dolna granica całkowania to −∞ i ∞

Magda: np mam tez taki przykład: ∞

	6dx
∫		i co z tym zrobić
	x2−1

−∞

Trivial: Dolna granica: dążymy z prawej (czyli +). Górna granica: dążymy z lewej (czyli −). Jeżeli mamy dowolną całkę: a ∫... b gdzie a < b, to możemy ją zapisać jako: b −∫ a Przykład: 1 2 ∫xdx = −∫xdx 2 1

Trivial: Przy rozwiązywaniu całki oznaczonej musisz najpierw zastanowić się nad jej osobliwościami. 1. Osobliwości widoczne od razu: −∞, +∞. 2. Osobliwości 'ukryte' − mianownik musi być różny od zera, czyli: −1, 1. Teraz musisz rozbić tą jedną całkę na milion innych całek z jedną osobliwością (u góry lub u dołu). Liczby pośrednie, u mnie: −2, 0, 2 są dowolne − ale z odpowiednich przedziałów, to jest: −2 jest z przedziału (−∞, −1) 0 jest z przedziału (−1, 1) 2 jest z przedziału (2, +∞) +∞ −2 −1 0 1 2 +∞ ∫... = ∫... + ∫... + ∫... + ∫... + ∫... + ∫... = ......... −∞ −∞ −2 −1 0 1 2

Trivial: Poprawka: 2 jest z przedziału (1, +∞).

Magda: no rozumiem że mianownik musi być rózny od zera tylko ja nadal nie wiem jak ruszyc ten przykład z godz 14:16

Trivial: Trzeba rozbić na milion całek jak napisałem. Potem każdą liczyć osobno. Jeżeli choć jedna wyjdzie ∞, to nie musisz liczyć reszty, bo to oznacza, że całka jest rozbieżna.

Magda: odp to 6π, tyle, że robilismy tez jeden przykład a zadanie brzmiało tak:

	1
zbadaj czy istnieje pole figury ograniczonej krzywą y =		i osią OX noi pole zostalo
	1+x2

zapisane jako: ∞ 0 0 S= ∫ ¹_1+x² dx = 2* ∫ ^dx_1+x²= 2* lim [arctgx]= itd −∞ −∞ k→ −∞ k nie mozna sobie tego jakos rozbic tak jak tutaj

Trivial: 1+x², a x²−1 to wielka różnica. Jeżeli chodzi o pole to trochę inna sprawa, Trzeba sobie najpierw zrobić wykres, żeby zobaczyć gdzie pole jest ujemne, a jeżeli wykres jest symetryczny (tu jest), to można sobie trochę ułatwić właśnie w ten sposób: +∞ +∞ ∫... = 2*∫ −∞ 0 Ale może niech ktoś inny się wypowie, bo muszę już iść.

Magda: dobra już rozumiem o co chodzi ztym zadaniem na pole ale tamten przyklad nie wiem czy rusze, ale i tak dzięki za pomoc

milena: ∫ x cox (x+1)dx

milena: Jak to rozwiązać? Prosze o pomoc

milena: najlepiej byłoby gdybym miała to rozpisane skąd co się wzięło.. Z góry dziękuję za pomoc!