całki Kasia: ∫xln²xdx

Dr Wykręt: ∫xln2xdx Zcałkujemy przez części, zgodnie ze wzorem ∫f'*g=f*g−∫f*g' i podstawieniem:

	x2
f'=x ⇒ f=
	2

	2*lnx
g=(lnx)2 ⇒ g'=
	x

	x2		x2		2*lnx		x2
∫xln2xdx=		*(lnx)2−∫		*		dx=		*(lnx)2−∫x*lnxdx
	2		2		x		2

Zajmijmy się teraz nowo powstałą całką: ∫x*lnxdx. Przecałkujemy ją przez części podobnie jak poprzednią, z podstawieniem:

	x2
f'=x ⇒ f=
	2

	1
g=lnx ⇒ g'=
	x

x2

x2

1

x2

1

x2

x2

∫x*lnxdx=

*lnx−∫

*

dx=

*lnx−

∫xdx=

*lnx−

+C

2

2

x

2

2

2

4

Czyli:

	x2		x2		x2
∫xln2xdx=		*(lnx)2−		*lnx+		−C
	2		2		4

Jedna uwaga − to czy przy C (w ostatniej linijce) będzie stał minus czy plus, to jest (chyba) obojętne. Ładniej wygląda z plusem, ale poprawniej z minusem Pozdrawiam.

jo: Dwa razy przez części. Pierwsze f(x) = ln²x g'(x) = x