Geometria/Okrąg - prosze o pomoc !! paw_el : Witam, zadanie wiąże się z "Twierdzeniem o odc. stycznej i siecznej lub o Twierdzenie o odcinkach dwóch siecznych" (było pod takim tematem). Zadanie to ma dwa podpunkty, jeden zrobiłem, drugiego nie potrafię ( przy okazji proszę sprawdzić czy dobrze zrobiłem podpunkt 1) Jest oto taki rysunek ( tą czerwoną linie namalowałem sam, jako pomocniczą), znajdziecie go pod tym inkiem : http://img222.imageshack.us/img222/2893/beztytuupt0.jpg 1) Oblicz potęgi punktów P,S1 względem okręgu : Potęga punktu P wzgl. okręgu : 64 Potęga punktu S1wzgl. orkęgu : 64 2) Jaką figurę tworzą wszystkie punkty, których potęga względem okrgu jest równa 64. Prosze o pomoc i w miare możliwosci wytłumaczenie

Bogdan: Ad 2. Mówi o tym twierdzenie: Punkty o równej potędze względem danego okręgu leżą na jednym okręgu.

paw_el: Nie znam tego twierdzenia... mógłbyś wytłumaczyć i rozwiążac ?

Bogdan: Wyobraź sobie okrąg o środku S i promieniu r. Bierzemy dowolny punkt P: 1. leżący na zewnątrz okręgu, 2. leżący wewnątrz okręgu, 3. leżący na okręgu. ad 1. Punkt P leży na zewnątrz okręgu. Zaznaczamy styczną do okręgu przechodzącą przez punkt P, punkt styczności oznaczmy A. Łączymy środek okręgu S z punktem A, |SA| = r. Widzimy trójkąt prostokątny SAP o przyprostokątnych AP i r oraz przeciwprostokątnej PS. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy: |AP|² = |SP|² - r². Potęga punktu P względem okręgu o (o środku w punkcie S) i promieniu długości r wyraża się wzorem: P(P,o) = |SP|² − r². P(P,o) > 0 dla punktu leżącego na zewnątrz okręgu. Jest wtedy równa kwadratowi długości stycznej poprowadzonej z punktu P do okręgu o. ad 2. Punkt P leży wewnątrz okręgu. Zaznaczamy odcinek SP i prostopadłą do niego cięciwę AB przechodzącą przez punkt P, ten punkt jest środkiem cięciwy AB, punkty A i B leżą na okręgu. Tu również widzimy trójkąt prostokątny SPA oraz SPB. |SA| = |SB| = r. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy: |AP|² = r² - |SP|² = -(|SP|² - r²). Potęga punktu P względem okręgu o (o środku w punkcie S) i promieniu długości r wyraża się wzorem: P(P,o) = |SP|² − r². W tym przypadku P(P,o) < 0 i jest równa co do wartości bezwzględnej kwadratowi połowy najkrótszej cięciwy okręgu o przechodzącej przez punkt P. ad 3. Punkt P leży na okręgu. Zaznaczamy odcinek SP, |SP| = r. Potęga punktu P względem okręgu o (o środku w punkcie S) i promieniu długości r wyraża się wzorem: P(P,o) = |SP|² − r² = 0, czyli P(P,o) = 0 dla punktów na okręgu. Wracamy do Twojego zadania. P(P,o) = |SP|² − r² = 64 > 0, więc punkt P leży na zewnątrz okręgu, zachodzi tutaj przypadek pierwszy. Jeśli dla każdego punktu leżącego na zewnątrz okręgu P(S,o) jest stały (P(S,o) = 64), to znaczy, że odległość tego punktu od środka S okręgu jest równa |SP| i też jest stała, wynosi √|PA|² + r². Zbiór punktów leżących w równej odległości od danego punktu S jest okręgiem, stąd mamy twierdzenie: punkty o równej potędze względem danego okręgu leżą na jednym okręgu.