macierze, równania macierzowe Ewa: Pomocy Czy ktoś mógłby mi pomóc w temacie macierzy? dzisiaj mam zaliczenie i mam kilka pytań. 1) jak najprościej obliczyć rząd macierzy, która posiada więcej wierszy niż kolumn? np. 3 wiersze i 5 kolumn. Wiem, ze moze ona miec co najwyzej rzad =3, ale jak go obliczyć w najlatwiejszy sposób? 2) równanie Cramera to takie, gdzie wyznacznik różni się od 0? 3) kiedy stosuje się wzory Cramera, a kiedy równanie rozwiązuje się z twierdzenia Cronechera−Capellego? na razie to tyle, byłabym wdzięczna

komentator OWMH: .− Jeśli weźmiemy pod uwagę że, rząd macierzy to maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów tworzących wierszy danej macierzy. Przy obliczaniu rząd macierzy metodą Gaussa, sprowadzimy macierz do macierzy schodkowej .stosując operacji elementarnych na wierszach. Wtedy wszystkie niezerowe wiersze są liniowo niezależne i można łatwo odczytać rząd macierzy. 2.− Jeżeli w układzie A.x = B (1) liczba niewiadomych jest równa liczbie równań; to układ równań nazywamy kwadratowym; to wtedy można wykorzystać wyznaczniki. A jest to tzw. macierz współczynników układu Cramera (1). B macierz (albo kolumna) wyrazów wolnych układu równań Układ Cramera to układ równań kwadratowy spełniający warunek: det A ≠ 0 ( det ( macierzy układu (1) ) ≠ 0 ) i zastosujemy metoda Cramera Twierdzenie Cramera: − Jeżeli wyznacznik macierzy A jest różny od zera, to rozważany układ równań (1) ma jednoznaczne rozwiązanie; to układ ma jedno rozwiązanie (jest oznaczony). Ponadto, rozwiązanie to wyraża się wzorami (tzw. wzory Cramera): x_i = det A_i / det A gdzie A_i oznacza macierz otrzymaną przez zamianę w macierzy A i−tej kolumny na kolumnę wyrazów wolnych układu równań. − Jeżeli wyznacznik macierzy jest równy zeru: i).− układ ten jest układem równań nieoznaczonym lub sprzeczny (nie ma rozwiązań), gdy wyznaczniki macierzy są równe 0. ii).− układ jest sprzeczny (nie ma rozwiązań), gdy wyznacznik którejś z macierzy A{i] jest niezerowy. 3.− Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązując układ m równań liniowych z n niewiadomymi należy, za pomocą operacji elementarnych wyłącznie na wierszach, sprowadzić macierz rozszerzoną układu równań liniowych do postaci schodkowej. Następnie należy rozstrzygnąć istnienie rozwiązań układu z pomocą twierdzenia Kroneckera−Capellego. Twierdzenie Kroneckera−Capellego pozwala rozstrzygnąć, czy dany układ równań ma rozwiązanie. Twierdzenie Kroneckera−Capellego Układ równań liniowych o macierzy głównej A i macierzy rozszerzonej U ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rz (A) = rz (U), gdzie rz (A) ; rz (U), oznaczają odpowiednio rzędy macierzy A oraz U. Wniosek.− Niech: rz (A) = r ; rz (U)= s , oraz n liczba niewiadomych układu. Jeżeli układ ma rozwiązanie (tj. r = s ), to o liczbie jego rozwiązań można wnioskować według następujących reguł: − Dla r = s =n układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, przy czym dla układu jednorodnego tym rozwiązaniem jest x₁ = 0, x₂ = 0, x₃ = 0, ..., x_i−1 = 0, x_i = 0. − Dla r = s < n ; zbiór rozwiązań zależy od n−r parametrów − Przypadek r = s > n jest niemożliwy.

orzelzmatmy.pl: Znam 2 razy szybszą metodę nauki macierzy i układów równań... Sprawdź to na stronie http://orzelzmatmy.pl/macierze-wyznaczniki-i-uklady-rownan-liniowych/81-metody-rozwiazywania-ukladow-rownan-liniowych