Badanie monotoniczności ciągu za pomocą funkcji Gustlik: Chciałem przedstawić metodę badania monotoniczności niektórych ciągów za pomocą funkcji − jest prościej niż metodą a_n+1−a_n. Metoda ta dotyczy ciągów, których wzory są łatwymi do zbadania funkcjami − np. liniowa, kwadratowa, homograficzna, wykładnicza itp. Polega ona na potraktowaniu coiągu jak funkcji i zbadaniu monotoniczności danej funkcji w zbiorze liczb N₊ za pomoca znanych własności danego typu funkcji. Np. Jeżeli ciąg dany jest wzorem funkcji liniowej (arytmetyczny): a_n=4n−3 mamy funkcję y=4x−3, a=4>0 więc f(x) rosnąca czyli ciąg rosnący. a_n=−3n+2 y=−3x+2. a=−3<0, f(x) malejie, a więc ciąg maleje Jeżeli ciąg dany jest wzorem funkcji kwadratowej, to liczymy współrzędną p wierzchołka paraboli i ustalamy, w którą stronę skierowane są ramiona:

	−b		3
an=n2+3n+2 y=x2+3x+2 p=		=−		− wierzchołek jest na ujemnej półosi OX, a wiec
	2a		2

poza zbiorem N₊, a ramiona paraboli ida w górę, więc ciąg jest rosnący (zbiór N₊ obejmuje prawe ramie wykresu, ktore idzie w górę − wystarczy narysowac przybliżony wykres funkcji) Ciąg dany wzorem funkcjin homograficznej: a_n=U{2]{n}+3

	2
y=		+3 funkcja ta jest malejąca w zbiorze R− i R+, a więc jest malejąca w zbiorze N+,
	x

czyli ciąg malejący. Ciąg dany wzorem funkcji wykładniczej (geometryczny) a_n=3ⁿ y=3^x a=3>1 więc funkcja i ciąg są rosnące, bo funckja wykładnicza rośnie dla a>1

	1
an=(		)n
	3

	1		1
y=(		)x a=		<1 więc funkcja i ciąg są malejące, bo funkcja wykładnicza maleje dla
	3		3

a€(0, 1).