oblicz całkę qlimax: x⁴+5x³+6x²+5x+13 1. ∫ -------------------------------- x²+5x+6 2. 5x+3 ∫ --------------- x²+2x-3 3. 2x+3 ∫ --------------- x²+4x+5

Basia: Zadanie 1. dzielimy licznik przez mianownik; wynik x² i reszta 5x+13 czyli: 5x+13 I = ∫x² dx + ∫ -------------- dx x²+5x+6 ∫x² dx = x³/3 druga: x²+5x+6 =0 Δ=25-4*1*6 = 25-24 =1 √Δ = 1 x₁ = (-5-1)/2 = -3 x₂ = (-5+1)/2 = -2 x²+5x+6 = (x+2)(x+3) 5x+13 I₂ = ∫ ---------------- dx (x+2)(x+3) 5x+13 A B -------------- = ------------- + ------------- = (x+2)(x+3) x+2 x+3 A(x+3) + B(x+2) (A+B)x +(3A+2B) ---------------------- = ------------------------- (x+2)(x+3) (x+2)(x+3) stąd: A+B = 5 /*(-2) 3A+2B=13 -2A - 2B = -10 3A + 2B =13 --------------------- A =3 B =2 czyli: 3 2 I₂ = ∫ --------- dx + ∫ --------- dx = 3ln|x+2| + 2ln|x+3| x+2 x+3 czyli: I = x³/3 + 3ln|x+2| + 2ln|x+3| +C

Basia: Zadanie 2: x²+2x-3 =0 Δ= 4 - 4*1*(-3) = 4+12 = 16 √Δ = 4 x₁ = (-2-4)/2 = -3 x₂ = (-2+4)/2 =1 x²+2x-3 = (x-1)(x+3) 5x +3 czyli: I = ∫ -------------- dx (x-1)(x+3) 5x+3 A B A(x+3) + B(x-1) ------------- = ------ + ------ = ---------------------- = (x-1)(x+3) x-1 x+3 (x-1)(x+3) (A+B)x + (3A-B)pochodną mianownika jest 2x+5 przekształcamy licznik 5x + 13 = (5/2)*(2x + 13*2/5) = (5/2)*(2x + 26/5) = (5/2)*(2x + 5 + 1/5) = (5/2)*(2x+5) + 1/2 stąd: 2x+5 I₂ = (5/2)*∫ -------------- dx + ( x²+5x+6 ---------------------- (x-1)(x+3) stąd: A+B =5 3A-B =3 --------------- 4A = 8 A=2 B=3 2 3 I = ∫ ------ dx + ∫ ------ dx = 2ln|x-1| + 3ln|x+3| +C x-1 x+3 a w trzecim nie ma przypadkiem błędu ? to jest do pocałkowania, ale bardzo zaawansowanymi metodami

Basia: wg mnie w tym 3. powinno być w mianowniku x² + 4x -5 bo zapewne chodzi o całkowanie tzw.funkcji wymiernych dla x²+4x+5 nie można jej zastosować bo Δ = 16-20 = -4 czyli x²+4x+5 nie da się rozłożyć na czynniki

Bogdan: Dobry wieczór. Spróbuję rozwiązać trzecią całkę. 2x + 3 ∫--------------- dx = E x² + 4x + 5 x² + 4x + 5 = (x + 2)² + 1 x + 2 = t, dx = dt, x = t - 2, 2x + 3 = 2(t - 2) + 3 = 2t - 1 2t - 1 2t dt E = ∫ ----------- dx = ∫ ----------- dt - ∫ -------- = ln|t² + 1| - arc tgt + C = t² + 1 t² + 1 t² + 1 = ln|x² + 4x + 5| - arc tg (x + 2) + C.

qlimax: Nie Basiu, nie ma błędu w 3... Dziękuje Wam obojgu za odpowiedzi

Basia: no to niestety trzeba się pomęczyć tak jak Bogdan pokazał; dobranoc

monika1209: Oblicz całke ∫x(x−1)(x−2)dx

monika1209: ∫(x²−x+1)²dx

izoom: ∫dx/(x²+5)

Basia: monika1209 wymnożyć / podnieść do kwadratu i całkować wyraz po wyrazie izoom podstawienie t = x√5, potem 5 wyłączyć przed nawias i "wyrzucić" przed całkę

	1		1
zostanie		∫		dt
	5√5		t2+1

me: ∫6x−1/x²+4x+5