planimetria amelia: Zad1.Podstawy trapezu równoramiennego mają długości 3 i 5. Przekątne rapezu zawierają się w dwusiecznych jego kątów ostrych. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trapezie. zad2. W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AB ma długość 80, a ramię ma dlugość 41. D jest punktem przecięcia wysokości CK z dwusieczną kąta ABC. Oblicz odległość punktu D od ramienia trójkąta ABC. proszę o pomoc

Basia: Zadanie 1. oznacz trapez przez ABCD oznacz połowę kąta ostrego przez α mamy wówczas: kąt DAC = 2α kąt ABD = α kąt ADB = 180 - 3α okrąg opisany na trapezie ABCD jest też opisany na trójkącie ABD czyli R = 5 / [2sin(180-3α)] = 5 / (2sin3α) kąt BAD + kąt ADC = 180 2α+ (180-3α) + kąt BDC = 180 -α + 180 +kąt BDC =180 kąt BDC = α kąt CBD = α kąt BCD = 180-2α okrąg opisany na trapezie jest też opisany na trójkącie BCD czyli R = 3 / (2sinα) stąd: 3 / (2sinα) = 5 / (2sin3α) /*2 3 / sinα = 5 / sin3α 3sin3α = 5sinα sin3α = sin(α+2α) = sinαcos2α + sin2αcosα = sinα(1-2sin²α) + 2sinαcos²α = sinα - 2 sin³α + 2sinα(1-sin²α) = sinα - 2sin³α + 2sinα - 2sin³α = 3sinα - 4sin³α czyli 3(3sinα - 4sin³α) = 5sinα -12sin³α + 9sin α - 5sinα =0 -12sin³α + 4sin α = 0 4sinα(-3sin²α + 1) =0 sinα ≠ 0 bo α jest kątem ostrym -3sin²α + 1 = 0 /*(-1) 3sin²α - 1 =0 sin²α = 1/3 czyli sinα = √1/3 = 1/√3 bo sinα jako sinus kąta ostrego musi być dodatni i stąd: R = 5 / (2/√3) = 5√3 / 2 o ile nie pomyliłam się w rachunkach posprawdzaj

Basia: Zadanie 2 w trójkącie równoramiennym wysokość CK jest równocześnie dwusieczną kąta ACB czyli punkt D jest punktem przecięcia dwusiecznych czyli środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt i jego odległość od ramienia jest równa promieniowi tego okręgu stąd: r = 2P / L gdzie P - pole ABC; L - obwód ABC L= 80+41+41= 162 z trójkata AKC i tw.Pitagorasa mamy AK² + CK² = AC² 40² + CK² = 41² CK² = 1681 - 1600 CK² = 81 CK=9 P = (1/2)*AB*CK = (1/2)*80*9 = 40*9 = 360 r = 720 / 162 = 360 / 81 = 40 / 9

amelia: bardzo dziękuję za pomoc