oblicz macierz odwrotną do macierzy niestety nie aisztajn: 1 −2 3 −4

Basia: det A = 1*(−4)−(−2)*3 = −4+6 = 2 −4 −3 A^D = 2 1 −4 2 (A^D)^T = −3 1 −2 1 A⁻¹ = −³₂ ¹₂

Czarownica: 1) obliczamy wyznacznik macierzy A: det(A) = d₁₁*d₂₂−d₂₁*d₁₂ = 1* (−4) − 3 *(−2) = 2 det(A)≠0 więc A⁻¹ istnieje − A⁻¹ to macierz odwrotna 2) wyznaczamy dopełnienia algebraiczne (liczbę (−1) do potęgi takiej jak suma współrzędnych w macierzy 2 na 2 to zasłaniamy rząd i wiersz, w którym znajduje się wyraz o podanych współrzędnych i przez ten pozostały mnożymy ) d₁₁=(−1)¹⁺¹ (−4)=−4 d₁₂=(−1)¹⁺² 3=−3 d₂₁=(−1)²⁺¹ (−2)=2 d₂₂=(−1)¹⁺² 1=1 3) macierz dopełnień wygląda tak:

	−4 −3
D= [		]
	2 1

4) no i w końcu wyznaczamy macierz odwrotną A⁻¹

	1		1		1 −3		1   −3   2   2
A−1 =		* DT =		[		]=[		]
	det(A)		2		2 −4		1 −2

(te duże kreski ułamkowe to nie ułamek, ale nie potrafiłam inaczej napisać macierzy − macierze zapisałam w nawiasach kwadratowych [ ])

Basia: a gdzie transpozycja macierzy dopełnień ? pomnóż A przez swój wynik i zobacz czy dostaniesz macierz jednostkową

Czarownica: 4) punkt źle zrobiłam transpozycj − Basia prawidłowo

niestety nie aisztajn: dziekuje bardzo mam jeszcze jedno 1 2 ² 3 4

Basia: czy ten zapis oznacza, że masz policzyć A² gdzie A = 1 2 3 4 ?

niestety nie aisztajn: [tu sa te liczby ] ²

niestety nie aisztajn: ten nawias to macierz

Basia: no to wynikiem pomnóż macierz A przez macierz A, bo A² = A*A gdzie A to Twoja macierz a "*" oznacza możenie macierzy w₁₁ = pierwszy wiersz * pierwsza kolumna = 1*1+2*3 = 7 w₁₂ = pierwszy wiersz * druga kolumna = 1*2+2*4 = 10 w₂₁ = drugi wiersz * pierwsza kolumna = .................. dokończ w₂₂ = drugi wiersz * druga kolumna = .................. dokończ

niestety nie aisztajn: trzeba macierz odwrotna razy macierz odwrotna?

Basia: to nie ma nic wspólnego z macierzą odwrotną mnożysz macierz A przez macierz A [ 1 2 ] * [ 1 2 ] [ 3 4 ] [ 3 4 ] w₁₁ = 1*1+2*3 w₁₂ = 1*2+2*4 w₂₁ = 3*1+4*3 w₂₂ = 3*2+4*4 wynik to macierz [ w₁₁ w₁₂ ] [ w₂₁ w₂₂ ] policz sobie do końca i podstaw

niestety nie aisztajn: ale tutaj trzeba obliczyć macierz odwrotna

Basia: A² to kwadrat macierzy a nie macierz odwrotna

niestety nie aisztajn: czyli to co wyjdzie trzeba policzyć tak jak w przykładzie pierwszym?

niestety nie aisztajn: ale w poleceniu mam obliczyć macierz odwotną to jest podpunkt b

Basia: czyli masz policzyć (A²)⁻¹ czyli tak; teraz tak jak w przykładzie (1) liczysz macierz odwrotną do tego co wyszło z mnożenia

niestety nie aisztajn: oblicz macierz odrotną do macierzy [1 2]² [3 4]

Basia: patrz post wyżej; tak to należy zrobić

niestety nie aisztajn: czyli mysle ze to trzeba tak jak robiłas jedna razy druga a poxniej tak jak w pierwszym

Basia: tak

komentator OWMH: Jeśli A − macierz kwadratowa i A⁻¹ − macierz odwrotna od macierzy A to A . A⁻¹ = I ; ( det A ≠ 0) Aby znaleźć macierz odwrotna od macierzy A [ 1 −2 ] [ a b ] A = zakładamy że A⁻¹ istnieje i ma postać A⁻¹ = [ 3 −4 ] [ c d ] [ 1 −2 ] [ a b ] [ 1 0 ] A . A{−1} = I ⇔ . = [ 3 −4 ] [ c d ] [ 0 1] stosując iloczyn macierzowy: 1.− a − 2c =1 A . A{−1} = I ⇔ układ równań 2.− b − 2d = 0 3.− 3a −4c = 0 4.− 3b − 4d = 1 rozwiązując ten układ mamy : 1.− a − 2c =1 2.− b − 2d = 0 A . A{−1} = I ⇔ ukł. r−nań ⋀ ukł. r−nań 3.− 3a −4c = 0 4.− 3b − 4d =1 1.− a = −2 2.− b = 1 A . A{−1} = I ⇔ ukł. r−ń ⋀ ukł. r−nań 3.− c = −3/2 4.− d = 1/2 a więc : [ −2 1 ] A⁻¹= [ −3/2 1/2 ] myślę ze tutaj ten sposób jest prosty; tylko trzeba pamiętać jak sie wykonuje mnożenie macierzy

komentator OWMH: poprawy wygładu to co pisałem wcześniej ; po czwartel wierszy powinno być [ 1 −2 ] A = zakładamy że A⁻¹ istnieje i ma postać: [ 3 −4 ] [ a b ] A⁻¹ = [ c d ]