ograniczoność- proszę o sprawdzenie ewa: zbadać ograniczoność ciągu o wyrazie ogólnym:

	2n−3
an=
	n+3

Ciąg jest ograniczony przez 2 i −3 ?

math: powiem, że dla n=0, ograniczenie jest −1, ( jest to kres dolny inf(a_n)) ,bo n jest naturalne. a kres górny sup(a_n)jest chyba ograniczony przez 2

ewa: w jaki sposób najprościej się zawsze zabrać za takie zadanie? podstawić za n 0 i 1 ? Proszę o krótkie wyjaśnienie

ewa: ?

ewa: pomoże ktoś?

Jack:

	2x−3
możesz potraktować an jako funkcję... Umiesz narysować wykres takiej funkcji f(x)=
	x+3

?

ewa: no tak, z wykresu można to odczytać?

Jack: oczywiście. Mając wykres ogranicz się tylko do n∊N i już... Oczywiscie czym innym jest udowodnienie że tak jest. Rysunek będzie jedynie "poglądowym" dowodem

ewa: a taki sposób żeby to "rozpisać"?

ewa: i dziękuję Jack za pomoc

ewa: i math również

Jack: pytasz o wyrażenie a_n=.... , czy już o ścisły dowód?

ewa: o taki sposób żeby pisemnie rozwiązać takie zadanie

ewa: w sensie żebym zrozumiała w jaki sposób rozwiązywać takie przykłady

Jack: musisz wykazać, że dla każdego n∊N jest tak, że −3≤a_n≤2. Można to zobaczyć na wykresie − stąd moja propozycja zobrazowania sobie o co chodzi. Wtedy

	2n−3		2(n+3)−9		−9
można próbować tak rozpisać wzór		=		=		+2.
	n+3		n+3		n+3

	−9
Ułamek		jest "rosnący" dla n∊N i ograniczony przez 0. Więc po dodaniu 2 zostanie, że
	n+3

a_n<2 (bo ułamek nigdy nie osiągnie 0). Z drugiej strony skoro jest rosnący to dla najmniejszego argumentu n=1 dostaniesz −9/4 +2 =−1/4>−3. Więc −3 faktycznie ogranicza ciąg a_n od dołu. Wracając do innego rozwiązania, możesz też rozwiązać dwie nierówności podane na poczatku.

ewa: dziękuję bardzo już coś przynajmniej poukładane mam

	1
a nie jest tak że −		jest tym ograniczeniem?
	4

Jack: jest to nawet kres dolny (czyli największe z ograniczeń dolnych). Ale również −2,−3,−4,... są ograniczeniami dolnymi.

ewa: ahaaa stąd też mogą być różne wyniki jeszcze raz dziękuję

Jack: bardzo proszę