Do Triviala ICSP: Skąd wiemy ze liczba zespolona jest dodatnia, ujemna, zerowa?

Trivial: Wiemy, że jest zerowa, gdy z = 0. Pojęcie dodatniej lub ujemnej liczby zespolonej nie istnieje. Nie można powiedzieć, że liczba z₁ jest większa od z₂, bo zbiór liczb zespolonych nie jest zbiorem uporządkowanym. Liczby zespolone są to pary liczb rzeczywistych. Można myśleć o nich w kategoriach wektorów.

ICSP: czyli jeżeli jest jakas liczba zespolona np. 5 + 3i. Leży ona chyba w I ćwiartce ukłądu współrzędnych czyli nad osią OX nie mozemy powiedzieć ze jest dodatnia?

Trivial: A czy o wektorze u = (1, 3) można powiedzieć, że jest dodatni?

ICSP: chyba nie

Trivial: No to już masz odpowiedź.

ICSP: To może jeszcze mi powiesz jak najprościej i najszybciej przejść z postaci kanonicznej do wykładniczej i trygonometrycznej?

Trivial: 1. Postać algebraiczna. z = a + bi Modułem liczby z nazywamy liczbę |z| = √a² + b². 2. Postać trygonometryczna.

	a		b
z = a + bi = |z|(		+ i*		)
	|z|		|z|

	a		b
Zauważ, że liczby		i		są wartościami z przedziału [−1, 1], a zatem istnieje
	|z|		|z|

	a		b
kąt φ ∊ [0, 2π), dla którego cosφ =		i sinφ =		, czyli
	|z|		|z|

z = |z|(cosφ + isinφ) Aby znaleźć kąt φ musisz rozwiązać układ równań:

	a
(1) cosφ =
	|z|

	b
(2) sinφ =
	|z|

3. Postać wykładnicza. z = |z|(cosφ + isinφ) = |z|e^iφ. (dowód z tw. Taylora)

ICSP: To podaj jakiś prosty przykład i spróbujemy.

Trivial: z = 1 − i.

ICSP: z = 1 − i a = 1 b = −1 |z| = √1 + 1 = √2

	√2		−√2
z = √2(		+ i		) = √2(cos315o + isin −315o)
	2		2

z = √2e^i315o

ICSP: Chyba gdzieś musiałem się pogubić.

Trivial: Miało być w radianach.

tysia : Ty chodzisz do liceum i umiesz liczby zespolone?!

Trivial:

	π		7π
np. φ = −		+ 2π =
	4		4

ICSP: To czemu nie pisałeś że ma być w radianach tysiu jak widzisz nie umiem

	7π		7π
z = √2(cos−		+ isin −		)
	4		4

z = √2e^i−7π₄

	7π
W wykładniku jest i −
	4

ICSP: teraz już widzę swój błąd. Beza tych minusów było by dobrze?

Trivial: Jest napisane wyżej φ ∊ [0, 2π).

Trivial: Tak.

ICSP: Czyli bez minusów jest dobrze

Trivial: Korzystając z liczb zespolonych można wyprowadzić wzory na sinx i cosx.

ICSP: To może zaużmy taki przypadek: Mamy wykres funkcji sinus w przedziale <0;π> Obracam go dookoła osi OX otrzymuję kulę o promieniu 1. Obliczenie V takiej kuli nie jest chyba zbyt dużym problemem. Nawet z całek. Problem pojawia sie gdy chcę z całek policzyć kulę o promieniu np. 2 Bo jeśli wezmę wykres funckji y = 2sinx to wtedy nie powstanie mi ładna kula tylko coś innego. Mam wziąsc wykres y =

	1
2sin		x?
	2

Trivial: Obrót sinusa wokół Ox daje kulę? Czy aby na pewno?

ICSP:

	1
Nie bo nie przyjmuje wartości		dla kąta 45o?
	2

ICSP: Dobrze myślę?

Trivial: Niestety, ale nie rozumiem. Przecież kula to nie jest obrócony sinus. Równanie okręgu: x² + y² = r² f²(x) = y² = r² − x² Objętość kuli o promieniu r:

	x3
V = π∫ab f2(x)dx = π∫−rr (r2 − x2)dx = 2π∫0r(r2 − x2)dx = 2π[r2x −		]0r
	3

=

	r3		2r3		4
= 2π(r2*r −		] = 2π*		=		πr3.
	3		3		3

ICSP: Boże okrąg ale ja jestem tępy

Trivial: Aby obliczyć pole postępujemy analogicznie, ale coby się zbytnio nie namęczyć trzeba zastosować pewien trik. P = 2π∫_a^b |f(x)|*√1+[f'(x)]²dx A = |f(x)|*√1+[f'(x)]² = √f²(x)*√1+[f'(x)]² = √f²(x) + [f(x)f'(x)]² f²(x) = r² − x² /' 2f(x)f'(x) = −2x /:2 f(x)f'(x) = −x A = √r² − x² + (−x)² = r P = 2π∫_−r^r rdx = 4π∫₀^r rdx = 4π[rx]₀^r = 4πr².

ICSP: Ciekawe Jutro jeszcze będę miał jedną sprawę Na razie muszę sie wyspać za pomoc dziękuję

Trivial: