calka Antoszkie: mam problem z obliczeniem całki: ∫x²sin(4x) dx

jo: Dwa razy trzeba całkować metodą przez części... f(x) = x², g'(x) = sin(4x)

Antoszkie: no ok, czyli | f(x)= x² g'(x)= sin (4x)| ∫x²sin(4x)dx = | f'(x) = 2x g(x) = ∫sin (4x)| masakra, jak teraz rozpisać tą całkę sin 4x? beznadziejnie mi te całki idą//

AS: Spróbuj tak J = ∫x²sin(4*x)dx Pierwsze podstawienie: 4*x = t 4*dx = dt x = t/4 dx = dt/4 J = ∫(t/4)²*sin(t)*dt/4 = 1/64∫t²*sin(t)dt = 1/64J1 J1 = ∫t²(sin(t)dt Całkowanie przez części u = t² dv = sin(t)dt du = 2*t*dt v = −cos(t) J1 = u*v − ∫vdu = t²*(−cos(t)) − ∫(−cos(t)*2*t*dt J1 = −2*t²cos(t) + 2∫t*cos(t)dt = −2*t²*cos(t) + 2*J2 Do J2 powtórnie przez części

Trivial: ∫x²sin(4x)dx = x²⋅[−¹₄cos(4x)] + ¹₂∫xcos(4x)dx = = −¹₄x²cos(4x) + ¹₂[x⋅¹₄sin(4x) − ¹₄∫sin(4x)dx] =

	1		1		1		1
= −		x2cos(4x) +		xsin(4x) −		⋅[−		cos(4x)] + c =
	4		8		8		4

	1		1		1
= −		x2cos(4x) +		xsin(4x) +		cos(4x) + c.
	4		8		32

ane: ∫1/4x oznaczona=> na dole a, a u gory b