ekstrema funcji evciq: −obliczyć granice −asymptoty −monotoniczność funkcji −ekstrema f. −punkty przegięcia −wypukłość i wklęsłosc dla funkcji y=x² lnx Proszę o pomoc, bo wychodzą mi głupoty

evciq: Proszę, pomóżcie! głównie zależy mi na obliczeniu 1 pochodnej. wszło mi y'=lnx²x+x i nie wiem co dalej:(

Jack: zacznij od dziedziny i pochodnej... bo źle policzyłaś

evciq: aah, źle napisałam wyszło mi y'= 2x lnx+x czyli mogę to zrobić tak, że wyciąge ten x y'=x(2lnx+1)

Jack: mozesz, oczywiście. Teraz pochodna jest ok. Znajdź pierwiastki pochodnej, a dalej ekstrema.

evciq: no i własnie mam problem, bo nie wiem co z tym ln mam zrobić. ogólny plan postępowania znam, ale nie wiem co zrobić teraz. Jak przyrównam to do 0 to wychodzi mi: y'=x(lnx² +1)=0 czyli x=0 i lnx²+1=0 lnx²=−1 i e⁻¹=x²

Jack: a kiedy iloczyn dwóch licz sie zeruje? Wówczas, gdy chociaz jeden jest równy 0. Napisz jeszcze raz wyjściowe równanie. Bo coś mi się ta pochodna nie podoba...

evciq: to co z tym przyrównaniem do 0 w takim razie? y=x² lnx

Jack: f('x)=(x²lnx)'=2xlnx+x=x(2lnx+1) Stąd x(2lnx+1)=0 x=0 lub 2lnx+1=0→ lnx=−1/2 → x=e^−1/2 Teraz zauważ, że dla x=0 nie możemy mieć ekstremum ponieważ tu funkcja nie jest nawet określona. Sprawdź więc czy w otoczeniu drugiego pierwiastka następuje zmiana znaku.

evciq: uf. czyli narazie miałam dobrze hmm.. dobrze mi się wydaje, że x musi być większy od 1? e=2,817 więc mam obliczyć ten x i sprawdzić czy jest wiekszy od 1?

Jack: x już masz policzony. Teraz masz sprawdzić czy w otoczeniu punktu x=e^−1/2 następnuje zmiana znaku pochodnej. Najlpiej narysować sobie przybliżony wykres i zobaczyć. Można też skorzystać z tego że x=e^−1/2 jest to pojedynczy pierwiastek, wiec wykres przejdzie swobodnie przez oś OX...

evciq: yy...wybacz, ale nie rozumiem

evciq: jak mam sprawdzić czy to jest minimum czy maksimum?

Jack: wykres pochodnej w punkcie x₀=x=e^−1/2 dotyka osi OX, zgoda? Dotyka bo ten x₀ to pierwiastek. Teraz musisz zobaczyć czy dla x<x₀ i dla x>x₀ wartości funkcji w takich punktach mają różne znaki. Tzn czy w pierwiastku x=e^−1/2 funkcja przechodzi swobodnie czy odbija od osi OX.

Jack: rodzaj tego ekstremum zależy własnie od tej zmiany. Zależy czy wykres pochodnej tuż przed piewiastkiem miał wartośći dodatnie a potem ujemne, czy odwrotnie.

evciq: za pomocą czego mam to sprawdzić?

Jack: no wlasnie, za pomocą wykresu pochodnej albo z wlasnosci logarytmu. Narysuj sobie wykres logarytmu y=logx i prostą y=−1/2 i zobacz co się dzieje tuż przed i tuż po punkcie przecięcia.

evciq: przechodzi przez ten punkt i ciągle rośnie?

Jack: czyli wartość funkcji tuż przed x₀ jaki ma znak (względem 0)?

evciq: − ? bo jest po osią, tak?

Jack: tak. Mamy taką sytuację: y'=x(2lnx−1) Spradzamy dla x=e^−1/2. Czyli y'=(e^−1/2−0,00001)(2ln (e^−1/2−0,00001)−1) Stwierdziałaś własnie, że wyrażenie w nawiasie jest ujemne. Musimy jeszcze przemnożyć przez x, czyli u nas po podstawieniu przez coś bardzo bliskiemu e^−1/2, czyli e^−1/2−0,00001 (mam nadzieję, że domyślasz się że ten ułamek to tylko przykładowa wartość). Lecz jest to wciąż liczba dodatnia wiec znaku nie zmieni. Zatem idąc po wykresie od lewej strony do pierwiastka mamy znak "−". Teraz do samo rozumowanie dla x−ów troszkę większych od pierwiastka.

evciq: Na ćwiczeniach z maty wydawało się to dużo prostsze i było tylko y'=0 y'>0 i y'<0 i wszystko ładnie wychodziło , a ten przykład... ja nie wiem co mam odpisać. to 0,00001 to jest taka przykładowa liczba tak? szukamy czegoś co zmieni znak? czyli coś większego od e^−1/2 ?

Jack: my też tego szukamy... Patrzymy właśnie kiedy pochodna jest dodatnia, kiedy ujemna. Spróbuj może od razu napisać te przedziały, skoro analizowanie zachowania pochodnej w pobliżu pierwiastka sprawia Ci tyle kłopotu. Ogólnie, tak − wlasnie takiego pierwiastka szukamy który zmieni znak. Nie każdy piewiastek zmienia znak (parzysto−krotny nie zmienia)!

evciq: które przedziały? narazie żadnych konkretnych liczb chyba nie ustaliliśmy, albo ja tego nei widze:(

Jack: ustaliliśmy... po to szukaliśmy pierwiastków. One wyznaczają przedziały monotoniczności funkcji i przedziały w których pochodna jest >0 i kiedy <0.

evciq: mogę prosić o kontakt na maila, bo muszę iść do lekarza, a bardzo bym chciała żebyś mi to wytłumaczył . evciq91@o2.pl

evciq: to które to są liczby, bo ja ich nie widze

Jack: PIERWIASTKI naszej pochodnej. x=0 i x=e^−1/2

evciq: no tak. i teraz chodzi o to zeby zobaczyć w którym miejscu maleje a w którym rośnie tak? no ale ja nie wiem jak to stwierdzić, bo skoro i przed e^1/2 rośnie i po..

evciq: * e^−1/2

Jack: do tego potrzeba zbadać znak pochodnej. Znak pochodnej w pewnym przedziale mówi jak się zachowuje funkcja w tym przedziale. f'(x)>0 ⇔ f rośnie f'(x)<0 ⇔ f maleje

Jack: a z kolei "punkt przejścia" z "f. rosącej" na "f. mającej" to własnie nasze ekstremum, podobnie gdy f maleje a potem zaczyna rosnąć to też ekstremum

evciq: czyli w e^−1/2 funkcja rośnie

Jack: funkcja rośnie albo maleje zawsze w PRZEDZIAŁACH. W punktach... po prostu stoi

evciq: nie

evciq: chyba źle napisałam, nie?

evciq: najpierw pochodna jest mniejsza od 0, a potem większa od 0 tak? czyli od (−niesk; e^−1/2) maleje i od (e^−1/2; +niek) rośnie.

Jack: prawie dobrze. Zauważ, że określliśmy funkcję jedynie dla x>0. POza tym rośnie i maleje już FUNKCJA. POCHODNA była mniejsza, większa To co ważne, to to, że w otoczeniu tego punktu e=^−1/2 POCHODNA najpierw jest ujemna, a potem dodatnia. Taka zmiana znaku z "−" na "+" oznacza, że mam ekstremum − minimum.

evciq: tak tak. czyli dla x>o funkcja zachowuje się tak jak napisałam tak? no a dla x<0 nie możemy chyba obliczyć, bo to logarytm więc nie ma argumentów ujemnych, tak?

Jack: tak i tak Dokladniej, nie liczymy dla x<0 ponieważ dziedzina logarytmu tego zabrania.

evciq: uf. dziękuję! i teraz muszę obliczyć 2.pochodną żeby zobaczyć punky przegięcia itd tak?

Jack: tak tak, dokladnie.

evciq: 2 pochodna będzie wyglądać tak?

	1
y''=(2x lnx+x)'= 2ln x+2x		+1=ln x2 +3
	x

lnx²=−3 e⁻³=x² x=e^−3/2 i to jest punkt przegięcia?

evciq: albo tak ma być x=e^−3/2 lub x=e^3/2 ? i x=e^−3/2 odpada bo nie może być ujemne ?