dwumian newtona Aska: Korzystając z dwumianu Newtona przekształcić wzór (1+x)⁸

Jack:

	n i
(a+b)n=∑i=0n		an−i*bi

komentator OWMH: Rozwiązanie: n

	8 i
postać: (a+b)8 = ∑		a8−i bi ; nazywamy dwumian Newtona

0 Dwumian Newtona jest wielomianem symetrycznym i jednorodnym

	8 i
(i+1)− tego wyraz wielomianu Newtona to		a8−i bi

	8 i
a		jest jego współczynnikiem Newtona

symetrycznym − to znaczy że wartości współczynników brzegowych równe oddalonych od wyraz środkowy (wyrazy środkowych) wielomianu mają taką samą wartość jednorodnym − oznacza że każdy wyraz tego wielomianu jest wyrażeniem algebraicznym n−tego

	8 i
:		a8−i bi (to jest i−tego wyraz wielomianu Newtona)

8

	8 i
(a+b)8 = ∑		a8−i bi

0

	8 0		8 1		8 7		8 8
(a+b)8 =		a8−0b0 +		a8−1b1 +.. +		a8−7b7 +		a8−8b8

	8 0		8 1		8 7		8 8
(a+b)8 =		a8+		a7b +.. +		ab7 +		b8

n i		n i
	= n!/ [(n−i)! i!] ⇔		= n(n−1)(n−2) ...(n−i+1) / i!

wiadomo ze n! = n(n−1)(n−2) ...3.2.1; Również n!= n. [(n−1)!]=(n−1)! n; uwaga 0!=1 stąd mamy:

n n−1
	= n!/ [1! (n−1)!] =n

n 0
	= n!/ [n! 0!] = 1

n i
	= n(n−1)(n−2) ...(n−i+1) / i! dla i≠0

	8 0		8 8		n n−1
np.		= 8!/ [8! o!] =1 ;		= 8!/ [0! 8!] =1 ;		= n!/ [1! (n−1)!] =n ;

a więc : podstawiając a =1; b = x

	8 1		8 7
(1+x)8 =18+		17 . x +.. +		1. x7 + x8

(1+x)⁸ =1+ (8/1!).x + (8.7./2!) x² + ...+8.7.6 . 5 .4 .3/ 6! x⁷ +8 x⁷ + x⁸ (1+x)⁸ =1+(8/1!).x +(8.7/2!).x²+ ...+8.7.6.5.4.3.(2.1) / (6!.2 ).x⁷ +8.x⁷+x⁸ (1+x)⁸ =1+8.x +23.x²+ ...+23.x⁷ +8.x⁷+x⁸ odp. (1+x)⁸ =1+8.x+28. x²+56.x³+70.x⁴+56.x⁵+28.x⁶+8.x⁷+x⁸ Uwaga: OBLICZENIA WSPÓŁCZYNNIKÓW NEWTONA. 1.− Sposób: Zeby nie tracić dużo czasu na obliczenie tych współczynników to zwracamy uwagę na to że wielomian jest symetryczne i że ma n+1 wyrazów liczymy od od 1−szego współczynnika (i=1) do środkowego to tutaj znaczy do i = (n/2) bo n parzystą (tzn. 5 pierwszych wyrazów ); a jeśli n nieparzystą do i = (n+1)/2 Współczynniki Newtona tutaj obliczenia będą:

	8 0		8 1		8 2		8 3		8 4
		;		;		;		;		;

2.− Sposób : UŻYWAJĄC TROJKĄTA PASCALA. (jego budowa) Mam nadzieję że pomogłem.

ok: (x+1/x)⁸