oblicz całki Magda: proszę o pomoc całki Proszę o pomoc przy 3 przykładach bo nie mogę się doliczyć pewnie robię jakieś głupie błędy oblicz całki przez podstawienie:

	x−1
a) ∫		dx
	3x+1

	ctgx
b)∫		dx
	ln(sinx)

oblicz całkę przez części: c) ∫2^xsinx dx Prosze o pomoc przy jakimkolwiek przykładzie bo pewnie zrobiłam jakiś banalny błąd

Magda: Pomoże ktoś Proszę

Godzio: Pomoże

zad: o Godzio patrzyles na te zad ?

zad: z tej listy co Ci wyslalam?

Trivial:

	x−1		1		3x−3		1		3x+1 − 4
a) ∫		dx =		∫		dx =		∫		dx =
	3x+1		3		3x+1		3		3x+1

1

4

x

4

dx

3x+1 = t 3dx = dt

=

∫(1 −

)dx =

−

∫

=

=

3

3x+1

3

3

3x+1

x

4

dt   3

x

4

dt

x

4

=

−

∫

=

−

∫

=

−

ln|t| + c =

3

3

t

3

9

t

3

9

	x		4
=		−		ln|3x+1| + c.
	3		9

	1
b) [ln(sinx)]' =		*cosx = ctgx.
	sinx

	ctgx		cosx		ln(sinx) = t ctgxdx = dt
∫		dx = ∫		dx =		=
	ln(sinx)		sinx*ln(sinx)

	dt
= ∫		= ln|t| + c = ln|ln(sinx)| + c.
	t

	u = 2x dv = sinxdx du = 2xln2dx v = −cosx
c) ∫2xsinxdx =		=

	u = 2x dv = cosxdx du = 2xln2dx v = sinx
= −2xcosx + ln2∫2xcosxdx =		=

= −2^xcosx + ln2(2^xsinx − ln2∫2^xsinxdx) Niech ∫2^xsinxdx = J J = −2^xcosx + ln2(2^xsinx − ln2J) J = −2^xcosx + ln2*2^xsinx − ln²2J (1 + ln²2)J = 2^x(ln2sinx − cosx)

	2x(ln2sinx − cosx)
J =
	1+ln22

	2x(ln2sinx − cosx)
Zatem ∫2xsinxdx =		+ c.
	1+ln22

Godzio:

	x − 1
a) ∫		dx = ...
	3x + 1

	t − 1
3x + 1 = t ⇒ x =
	3

	1
3dx = dt ⇒ dx =		dt
	3

1

t − 1   − 1 3

1

t − 4

1

4

... =

∫

dt =

∫

dt =

∫(1 −

)dt = ...

3

t

9

t

9

t

	ctgx		cosx
b) ∫		dx = ∫		dx = ...
	ln(sinx)		ln(sinx)sinx

ln(sinx) = t

cosx
	dx = dt
sinx

	1
... = ∫		dt = ...
	t

c) ∫2^xsinxdx = −2^x * cosx + ∫2^xln2cosx = −2^xcosx + 2^xln2 * sinx − ln2∫2^xln2sinx ∫2^xsinxdx + ln²2∫2^xsinx = −2^xcosx + 2^xln2 * sinx ∫2^xsinxdx(1 + ln²2) = −2^xcosx + 2^xln2 * sinx

	−2xcosx + 2xln2 * sinx
∫2xsinxdx =		+ C
	1 + ln22

AS: Całka 1

x−1		1		4		1
	=		−		*
3x+1		3		3		3x + 1

Całka 2 u = ln(sinx) dv = dx

	cosx
du =		dx = ctgxdx v = x
	sinx

J = u*v − ∫Vdu = x*ln(sinx) − ∫xctgxdx i ponownie przez części.

Magda: Dziekuję Wam bardzo Teraz postaram sie to zroumieć gdzie popełniłam błąd ale mam jeszcze problem z tym przykładem : ∫arctgx dx ( całka na arcctgx, arccosx mi wyszły, ale na to coś mi nie gra znowu )

Trivial:

	u = arctgx dv = dx du = (dx/(1+x2) ) v = x		x
∫arctgxdx =		= xarctgx − ∫		dx =
			1+x2

	t = 1+x2 dt = 2xdx		1		dt
=		= xarctgx −		∫		= ...
			2		t

Magda: a więc to najpierw trzeba bylo zrobić przez częsci, tak tez zrobiłam a dalej widzę, że przez podstawienie− takiego mixu 2 naraz w jednym przykładzie jeszcze nie miałą w zadaniach każde zad na każdą metodę, ale do tego przykł nie było okreslone

Magda: i właśnie nie wiem co się z tym dalej robi średnio rozumioem to przez podstawianie kiedy już sobie podstawię, uproszczę i nie wiem dalej jak to zrobić Trivial co ma dalej to dt do t, jak to się opuszcza

Trivial:

	dt
∫		= ln|t| + c. A potem podstaw z powrotem wyrażenie z iksem za t.
	t

Magda:

	dt
czyli ∫		= ln|t| + c = ln |1+x2|+c i tyle
	t

czyli tak po prostu omija się to dt? wystarczy doprowadzic do najprostrzej postaci i wtedy opuszczam dt

	dt		1		1
a ten ln skąd się wziął z tego, że ∫		= ∫		= tak jak ze wzoru na całkę ∫
	t		t		x

i stąd ten logarytm naturalny