Ekstrema Marek: Mam wyznaczyc ekstrema lokalne funkcji. Prosze o pomoc. f(x,y)=x³−2y³−3x+6y

kachamacha: liczysz pochodne cząstkowe f_x=3x²−3 f_y=−6y²+6 f_xx=6x f_yy=−12y f_xy=f_yx=0

Marek: Tak, a dalej?

kachamacha: f_xx musi być >0 czyli 6x>0 x>0

kachamacha: sory−wyznacznik główny musi byc >0 i jesli f_xx jest >0 to mamy max a jesli f_xx<0 to mamy min

Trivial: f(x, y) = x³ − 2y³ − 3x + 6y 0. f ∊ C^∞(R²), a zatem jeżeli ma ekstremum w punkcie P₀, to ∇f(P₀) = 0.

	∂f		∂f
1. ∇f(x, y) = (		,		) = (3x2 − 3, −6y2 + 6)
	∂x		∂y

∇f(P₀) = 0 ⇔ (3x² − 3 = 0 ∧ −6y² + 6 = 0) x² = 1 y² = 1 P₁ = (1, 1) P₂ = (1, −1) P₃ = (−1, 1) P₄ = (−1, −1) 2. Badanie określoności drugiej różniczki.

	∂2f		∂2f		∂2f
		= 6x		= 0		= −12y
	∂x2		∂x∂y		∂y2

	6x 0 0 −12y
Hf =

	6 0 0 −12
P1: Hf(P1) =

	6 0 0 −12
A1 = 6 > 0 A2 = det		< 0

Funkcja f ma maksimum lokalne w punkcie P₁.

	6 0 0 12
P2: Hf(P2) =

	6 0 0 12
A1 = 6 > 0 A2 = det		> 0

Funkcja f ma minimum lokalne w punkcie P₂.

	−6 0 0 −12
P3: Hf(P3) =

A₁ = −6 < 0

	−6 0 0 12
P4: Hf(P4) =

A₁ = −6 < 0

Marek: Mam nadzieję, ze jakoś to zrozumiem. Wielkie dzieki.

Trivial: Zasugerowałem się pierwszą wypowiedzią kachamachy i mam błąd. dla P₁ i P₄: wyznacznik A₂ jest < 0 − nie ma ekstremum. dla P₂: jest OK. dla P₃: A₂ > 0 − maksimum

Trivial: A tak na marginesie, to wszystkie minory główne stopnia parzystego muszą być większe od zera, a nie wyznacznik główny.