jak zrobic takie zadanie? ;): czy mozna je zrobic?

	252x		99
250x+2*249x+...+49*22x+50*2x=		+
	(2x−1)2		4

Basia: podaj pełną treść, bo nie wiadomo co trzeba zrobić rozwiązać równanie ? udowodnić tożsamość ? a może jeszcze coś innego ?

;): rozwiazac rownanie siedze nad tym juz z 2 dni i nie moge tego rozwiazac

;): Bogdan, Eta pomozecie chociaz troche to zadanie zrobic?

;): jak ktos bd umial pomoc to prosze o jakas wskazowke dotyczaca tego zadania

Bogdan: Lewa strona; 2^50x + 2^49x + 2^48x + 2^47x + 2^46x + ... + 2^2x + 2^x + + 2^49x + 2^48x + 2^47x + 2^46x + ... + 2^2x + 2^x + + 2^48x + 2^47x + 2^46x + ... + 2^2x + 2^x + + 2^47x + 2^46x + ... + 2^2x + 2^x + + 2^46x + ... + 2^2x + 2^x + .......................... + 2^2x + 2^x + + 2^x = = S₅₀ + S₄₉ + S₄₈ + S{47} + S₄₆ + ... + S₂ + S₁ = ... S_n to suma n wyrazów ciągu geometrycznego (a_n): a₁ = 2^x, q = 2^x

;): Wielkie dzieki Bogdan za chwilke usiade i zobacze moze wkoncu je zrobie Jeszcze raz bardzo Ci dziekuje

Bogdan:

	250x − 1
S50 = 2x *		,
	2x − 1

	249x − 1
S49 = 2x *		,
	2x − 1

	248x − 1
S48 = 2x *		,
	2x − 1

	247x − 1
S47 = 2x *		,
	2x − 1

	246x − 1
S46 = 2x *		,
	2x − 1

...............

	22x − 1
S2 = 2x *		,
	2x − 1

	2x − 1
S1 = 2x *		,
	2x − 1

Bogdan: Rozpatrujemy lewą stronę. S₅₀ + S₄₉ + S₄₈ + ... + S₂ + S₁ = ...

	2x
Wyłącz przed nawias
	2x − 1

;): nie wiem czy dobrze robie moglbys sprawdzic

	250x−1+249x−1+...+22x−1+2x−1
2x*
	2x−1

	−50+250x+249x+22x+2x
2x*
	2x−1

	−50+249x(2x+1)+247x(2x+1)+...+23x(2x+1)+2x(2x+1)
2x*
	2x−1

;):

	2x
okej to zobacze co sie stanie jak wylacze przed nawias
	2x−1

Bogdan: Wyrażenie: −50 + 2^50x + 2^49x + 2^48x + ... + 2^2x + 2^x = −50 + S₅₀

;):

	50
2x*(−		+S50)
	2x−1

Bogdan:

	2x
Sprawdź ostatni swój zapis. Zastosuj podstawienie:		= t. Po wprowadzeniu
	2x − 1

prawej strony otrzymasz równanie kwadratowe. W dzień tu zajrzę. Dobranoc.

;): Dobrze jeszcze raz wielkie dzieki Dobranoc

;): wiecej juz dzisiaj nie wymysle jak bedziesz Bogdanie to zajrzyj i popatrz co robie zle ale juz mi mozg wysiada Lewa

	−50+S50
2x(		)
	2x−1

2x
	(S50−50)
2x−1

t(S₅₀−50) Prawa

252x		99
	+
(2x−1)2		4

	99
250xt2+
	4

	99
250xt2−(S50−50)t+		=0
	4

Δ=(S₅₀−50)²−99*2^50x (S₅₀−50+3√11*2^25x)(S₅₀−50−3√11*2^25x)=0 S₅₀−50+3√11*2^25x=0 ⋁ S₅₀−50−3√11*2^25x

	250x−1		250x−1
2x*		+3√11*225x=50 2x*		−3√11*225x=50
	2x−1		2x−1

Trivial: Zgodnie z pomysłem Bogdana: Niech t = 2^x: a_n = tⁿ a₁ = t q = t t⁵⁰ + 2t⁴⁹ + ... + 49t² + 50t = S₅₀ + S₄₉ + ... + S₂ + S₁ =

	t50−1		t49−1		t2−1		t−1
= t*		+ t*		+ ... + t*		+ t*		=
	t−1		t−1		t−1		t−1

	t		t
=		(t50−1 + t49−1 + ... + t2−1 + t−1) =		(S50 − 50) =
	t−1		t−1

	t		t50−1		t		t51−t		50t−50
=		(t*		− 50) =		(		−		) =
	t−1		t−1		t−1		t−1		t−1

	t		t51−51t+50		t52−51t2+50t
=		*		=		.
	t−1		t−1		(t−1)2

t52−51t2+50t		t52		99
	=		+		/ *4(t−1)2
(t−1)2		(t−1)2		4

4t⁵² − 204t² + 200t = 4t⁵² + 99(t²−2t+1) − 204t² + 200t = 99t² − 198t + 99 303t² − 398t + 99 = 0 Δ = 158404 − 119988 = 38416 √Δ = 196

	398 − 196		202		1
t1 =		=		=
	606		606		3

	398 + 196		594		99
t2 =		=		=
	606		606		101

	1
t1: 2x =
	3

x = −log₂3

	99
t2: 2x =
	101

	99
x = log2
	101

Jakieś dziwne te wyniki.

Trivial: Jeszcze tylko założenia brakuje t ≠ 1, t > 0

;): Dzieki Trivial i Bogdan za ogarniecie tego