Nierówności. tlik: Nierówności. Dla jakich wartości parametru k nierówność x⁴ + kx² + 1 > 0 jest prawdziwa dla każdego x ⊂ R ? Odpowiedź prawidłowa, to k ⊂ (−2, ∞) Nie mogę tego zrozumieć. Jeśli Ktoś jest w stanie wytłumaczyć, to będę bardzo wdzięczny. Pozdrawiam.

Bogdan: Zapis f(x) > 0 dla każdej wartości x∊R oznacza, że funkcja przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie, a wykres takiej funkcji znajduje się w całości nad osią x. Skutkiem takiego położenia paraboli jest brak miejsc zerowych.

tlik: W takim razie: x² = t t² + kt + 1 > 0 Funkcja przyjmuje wartości dodatnie, gdy Δ<0 k² − 4 < 0 (k−2)(k+2) < 0 k₁=2, k₂ = −2 k⊂(−2,2)

Bogdan: To nie wszystko. Równanie ax⁴ + bx² + c = 0 nie ma rozwiązań ⇔

	−b		−b		c
⇔ Δ < 0 lub (Δ = 0 i		< 0) lub (Δ > 0 i		< 0 i		> 0)
	a		a		a

tlik: Dziękuję.

tlik: Dobrze, jeszcze jedno pytanie. Kiedy Δ=0, to jest jeden pierwiastek (podwójny). Dlaczego więc

	−b
obok jest		, skoro jest to wzór na sumę dwóch pierwiastków. Czy chodzi o to, że
	a

jest to pierwiastek podwójny ?

Bogdan: Tutaj mamy równanie 4 stopnia, takie równanie nie ma pierwiastków nie tylko dla Δ < 0,

	−b
ale także dla Δ = 0, pod warunkiem, że jednocześnie zachodzi		< 0, a nawet
	a

	−b		c
dla Δ > 0 z jednoczesnym spełnieniem warunków:		< 0 i		> 0.
	a		a

	−b
Np.: x4 + 2x2 + 1 = 0, Δ = 0,		= −2 < 0, równanie nie ma pierwiastków.
	a

x⁴ + 2x² + 1 = 0 ⇒ (x² +1)² = 0 ⇒ x² + 1 = 0 sprzeczność. Np.: x⁴ + 3x² + 2 = 0, Δ = 1 > 0,

	−b		c
		= −3 < 0,		= 2 > 0, równanie nie ma pierwiastków,
	a		a

x⁴ + 3x² + 2 = 0 ⇒ (x² + 1)(x² + 2) = 0 x² = −1 sprzeczność, x² = −2 sprzeczność.

tlik: Dziękuję bardzo. Teraz rozumiem.

Wiki: 38+9<50−? Wstaw liczbę aby nierówności były prawdziwe