Obliczanie całki przez podstawienie Aś: Hej, utknęłam na pewnym etapie rozwiązywania całki. Byłabym bardzo wdzięczna za pomoc w dalszym rozumowaniu:

	x=3sint dx=3cost dt
∫ √9−x2 dx =		= ∫ 3cost √9(1 − sin2t) dt = ∫ 9cost √1 − sin2t

dt = 9 ∫ cost √cos²t dt = 9 ∫ (1 − sin²t) dt = 9t − 9 ∫ sin²t dt I tu mam dylemat, bo jeżeli przyjmę, że sin²t = ^{1 − cos2t}₂, wówczas po wyliczeniu takiej całki otrzymam ¹₂t − ^sin2t₄, a w takiej sytuacji niezbyt wesoło zapowiada się podstawienie z powrotem wartości x... Jakieś pomysły? Byłabym bardzo wdzięczna!

jo: W drugiej linijce, na początku coś nie tak... powinno być 9∫ cos²t dt

jo: A nie, ok, zamieniłaś na 1 − sin²t więc dobbrze...

jo: Może łatwiej będzie cos² t rozpisać, korzystając ze wzoru na funkcję podwojonego kąta np. coś z tym pokombinować (powinno łatwiej sie liczyć) cos2x =1 − 2sin²x

jo: Kurcze, spieszę się i co chwilę coś źle piszę... skorzystac z tego wzoru dla Twojego sin²t

Aś: Tak, właśnie tego wzoru chciałam użyć, ale − jak w pierwszym poście napisałam − wówczas wynik trudno jest zamienić z powrotem na wartości z "x". Chyba, że nie jest to takie trudne, tylko ja tego nie widzę. ^^'

AS: A może tak. Założenia: a ≠ 0 , |x| < |a|

	a2 − x2
J1 = ∫√a2 − x2dx = ∫		dx =
	√a2 − x2

	dx		x2
a2∫		− ∫		dx =
	√a2 − x2		√a2 − x2

	x		x2		x
a2*arcsin(		) − ∫		dx = a2*arcsin(		) − J2 [A]
	|a|		√a2 − x2		|a|

Całkę pierwotną liczę przez części J1 = ∫√a² − x²dx u = √a² − x² dv = dx

	−2*x*dx
du =		v = x
	2*√a2 − x2

	x2
J1 = u*v − ∫vdu = x*√a2 − x2 + ∫		dx
	√a2 − x2

J1 = x*√a² − x² + J2 [B] Dodając stronami [A] i [B] otrzymamy

	x
2*J1 = a2*arcsin(		) − J2 + x*√a2 − x2 + J2
	|a|

	x
2*J1 = a2*arcsin(		) + x*√a2 − x2
	|a|

Ostatecznie

	1		x		1
J1 = √a2 − x2 =		a2*arcsin(		) +		x*√a2 − x2 + C
	2		|a|		2

Aś: Dziękuję, na ten sposób pewnie nigdy bym nie wpadła! Jak tak teraz patrzę na Twoje rozwiązanie, to widzę już, jak zamienić "t" z mojego wyniku z powrotem na "x". Jeszcze raz dziękuję bardzo!