Niónoci wielomianowe z wart. bezwzgledną Linka: Witam, proszę o pomoc, bo nie mogę się z tym uporać, a chcę to rozwiązać jako przygotowanie do pracy klasowej z wielomianów. Proszę o wytłumaczenie i rozwiązanie 1) |(x² − 9)(x² − 25)| ≤ 0 2) |x³ + x² − 5x + 3| > x³ + x² − 5x + 3 3) 3x² ≤ |x³ − 4x|

gocha926: 1) to będzie równanie, bo z modułu nigdy nie wychodzi liczba ujemna. więc: |(x² − 9)(x² − 25)| = 0 ⇔ (x − 3)(x + 3)(x − 5)(x + 5) = 0, więc x ∊ {−5, −3, 3, 5}

Basia: ad.2 rozkładamy W(x)=x³+x²−5x+3 1 jest pierwiastkiem W(x) bo W(1) = 1³+1²−5*1+3 = 0 x³+x²−5x+3 : (x−1) = x²+2x−3 −x³+x² −−−−−−−−−−−−−−−−− 2x²−5x+3 −2x²+2x −−−−−−−−−−−−−−−−−− −3x+3 3x−3 −−−−−−−−−−−−−−−− ===== x³+x²−5x+3=(x−1)(x²+2x−3) P(x) = x²+2x−3 Δ=2²−4*1*(−3) = 4+12=16 √Δ = 4

	−2−4
x1=		= −3
	2

	−2+4
x2=		= 1
	2

x³+x²−5x+3 = (x−1)(x+3)(x−1) = (x−1)²(x+3) stąd: x³+x²−5x+3 < 0 ⇔ x+3<0 ⇔ x< −3 |f(x)| > f(x) ⇔ f(x)<0 ⇔ x< −3

Basia: ad.3 3x² ≤ |x³−4x| 3x² ≤ |x(x²−4)| 3x² ≤ |x(x−2)(x+2)| 1. x³−4x < 0 ⇔ x<−2 lub 0<x<2 ⇔ x∊(−∞,−2)∪(0,2) wtedy |x³−4x| = −(x³−4x) = −x³+4x i masz 3x² ≤ −x³+4x x³+3x²−4x ≤ 0 x(x²+3x−4) ≤ 0 x(x+4)(x−1) ≤ 0 x∊(−∞,−4>∪<0,1> stąd x∊[(−∞,−2)∪(0,2)]]∩[(−∞,−4>∪<0,1>] = (−∞,−4>∪<0,1> 2. x³−4x ≥ 0 ⇔ −2≤x≤0 lub x≥2 ⇔ x∊<−2,0>)∪<2,+∞) wtedy |x³−4x| = x³−4x i masz 3x² ≤ x³−4x −x³+3x²+4x ≤ 0 x(−x²+3x+4) ≤ 0 dokończ tak jak w (1) rozwiązaniem jest suma rozwiązań (1) i (2)

Gustlik: Basiu teraz to Ty pojechałaś z Warszawy do Gdyni przez Zakopane. Od dzielenia wielomianu przez dwumian jest schemat Hornera, w dodatku masz od razu znaleziony pierwiastek, bo na końcu tabelki wychodzi reszta: 1 1 −5 3 1 1 2 −3 0 ← W(1)=0 (x−1)(x²+2x−3)=0, dalej bez zmian. O wiele mniej liczenia niż słupkiem i trudniej o pomyłkę. Pozdrawiam.

Basia: a ja nie cierpię schematu Hornera i wiele osób podziela to uczucie

Linka: Mi osobiście nie przeszkadza schemat Hornera Ale dziękuję wszystkim za rozwiązanie i zarazem wytłumaczenie W razie wątpliwości jeszcze napiszę, ale mam nadzieję, że resztę sama już rozwiążę (zadanie związane z 1 podpunktem już rozwiązałam sama)

Linka: Niestety, nie udaje mi się. Na razie siedzę nad tym, z podpunktu 2. Poprawcie mnie tam, gdzie robię błędy, proszę! Przykład: |x³ − 3x − 2| ≤ x³ − 3x − 2 czyli |f(x)| ≤ f(x), ale to jest niemożliwe, ponieważ wart. bezwzględna nigdy nie będzie mniejsza w takim równaniu, więc zostaje nam rozpatrzyć równość obu stron, prawda? Rozkładam W(x) czynniki i mi wychodzi niebieski(x+1)(x² − x − 2).

Linka: A nie, jednak udało mi się to rozwiązać. Po prostu błąd przy jednym obliczeniu.

Gustlik: Do Basi: A ja go właśnie lubię i wśrod moich uczniów jest on wręcz zachwalany − wszyscy, których znam, wolą schemat Hornera niż dzielenie, ale pokazuje oczywiście obie metody. Schematem jest dużo szybciej, a na maturze czas jest cenny. Pozdrawiam